Pregunta sobre la volatilidad local

Question

En el libro de Gatheral La superficie de la volatilidad (Wiley, 2006), un modelo de volatilidad local se define como... $$ dS_t =S_t \mu_tdt + S_t \sigma(S_t, t)dZ $$ La famosa ecuación de Dupire viene dada por... $$ \sigma^2(K, T, S) = \frac{\partial C/\partial T}{\frac{1}{2} K^2\partial^2C/\partial K^2} $$

Tengo dos preguntas...

(a) según la definición de vol. local, $\sigma$ es una función de t y S. ¿Cómo es que también depende de K en la segunda ecuación?

(b) En la práctica, ¿qué tipo de funciones utiliza la gente para $\sigma(t, S_t)$ ? ¿Bastaría con una función cuadrática o cúbica?

Answer 1

Para responder a su segunda pregunta, según "Pricing, Hedging and Trading Financial Instruments" de Carol Alexander, se han propuesto los siguientes enfoques en la literatura:

• polinomios cúbicos (Dumas et al., 1998)
• funciones cuadráticas a trozos (Beaglehole y Chebanier, 2002)
• splines cúbicos (Coleman et al., 1999)
• funciones trigonométricas hiperbólicas (Brown y Randall, 1999)
• Polinomios de Hermite (McIntyre, 2001)

Esperemos que esta lista le sirva de punto de partida. Una función cuadrática o cúbica podría ser suficiente, sin embargo, asegúrese de que la parametrización que elija preserve la propiedad de sonrisa estática de la volatilidad local (es decir, el precio subyacente del valor no debería cambiar la volatilidad en ningún punto de la superficie)