¿Puede un proceso estocástico no adaptarse a la filtración ni ser previsible?

Question

La idea de la pregunta surge de mi intuición sobre los conceptos de "adaptado a la filtración" y "previsibilidad".

Si un proceso es adaptado significa esencialmente que la evolución del universo hasta el tiempo t revela la historia de nuestro proceso hasta el momento t también.

Por otro lado, si un proceso es previsible significa que la evolución del universo hasta el tiempo t revela información sobre el proceso más allá del tiempo t.

Si pensamos en estos términos, resulta natural preguntarse si podemos construir procesos en los que la evolución del universo hasta el tiempo t revele información sobre dichos procesos sólo hasta un tiempo antes de t, digamos t-1.

Answer 1

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad con un movimiento browniano $(B_t)$ cuya filtración natural denoto por $(\mathcal{F}_t)$ . Por definición, para cada $t\geq0$ , $B_t$ es $\mathcal{F}_t$ -Medible, es decir $(B_t)$ se adapta a $(\mathcal{F}_t)$ .

Según tengo entendido, se pregunta si podemos construir un proceso que no sea ni adaptado ni previsible (es decir, predecible). Considere los tres procesos

1. $X_t = B_t$ ,
2. $Y_t = B_{t-1}$ y
3. $Z_t = B_{t+1}$ .

Entonces, $(X_t)$ se adapta a $(\mathcal{F}_t)$ por definición. Así es $(Y_t)$ que también se conoce por la información contenida en $\mathcal{F}_t$ . De hecho, $(Y_t)$ es previsible ya que cada $Y_t$ es $\mathcal{F}_{t-1}$ -medible. El proceso $(Z_t)$ sin embargo, no está adaptado ni es previsible. El conocimiento de la evolución del universo hasta el momento $t$ simplemente revela información sobre $Z_{t-1}$ pero no tienes ni idea del valor de $Z_t$ .