¿Cuál es la probabilidad de que una opción lookback termine en el dinero (modelo CRR)?

Question

Me gustaría calcular la probabilidad de que una determinada opción lookback termine en el dinero, digamos que la opción tiene el siguiente pago $h_N=\max\left\{0,K-\min\{S_1,...,S_N\}\right\} $ donde $K$ es un precio de ejercicio fijo y $S_1$ hasta $S_N$ denotan los valores discretos del subyacente desde el tiempo $1$ a $N$ . Por supuesto, el $S_0$ , $U$ , $D$ y la probabilidad de movimiento al alza $\mathbf{P}(S_n/S_{n-1}=U)$ se da. Puedo ver que la respuesta depende en gran medida de esos valores, pero quiero un enfoque general.

Gracias de antemano

Answer 1

En un modelo binomial CRR, parece que el mínimo de la trayectoria es una función del número total de movimientos descendentes a lo largo de esa trayectoria singular.

Por ejemplo, fijemos $N=3$ , lo que da lugar a $2^N=8$ caminos posibles que llegan a cuatro $N+1=4$ posibles estados en la madurez.

A lo largo de cada camino, basta con observar que el mínimo a lo largo de ese camino se define simplemente por el número de movimientos hacia abajo a lo largo de ese camino. Por ejemplo,

$$ \min{S_N(UUU)} =S_0 D^0 = S_0 $$ $$ \min{S_N(UUD)}=\min{S_N(UDU)}=\min{S_N(DUU)}=S_0 D^1 = S_0 D $$ $$ \min{S_N(UDD)}=\min{S_N(DUD)}=\min{S_N(DDU)}= S_0 D^2 $$ $$ \min{S_N(DDD)}= S_0 D^3 $$

Así, para encontrar la probabilidad de que la opción termine en el dinero, simplemente recogemos todas las trayectorias para las que $\min{S_N} \leq X$ . De forma equivalente, ¿cuántos $D$ pasos $N_D$ ¿se requiere (al menos) estar "en el dinero"?

$$ X \geq SD^{N_D} \Leftrightarrow N_D = \frac{\ln(X/S)}{\ln D} $$ redondeado.

La probabilidad de estar en el dinero por lo tanto es:

$$ p_{ITM} = \sum_{k=0}^{N_D}\binom{N}{k}p^{k}(1-p)^{N-k} $$ con $p$ definido como de costumbre.