Valor actual de un pago

Question

Supongamos que acabo de ganar 1'000'000 de dólares en un concurso. Al final del programa me dicen que me pagarán el premio de la siguiente manera: depositarán en mi banco 50'000 dólares cada año durante veinte años con un interés anual constante del 6% (esto para evitar que desperdicie demasiado rápido el millón de dólares que acabo de ganar). El valor actual de mi premio viene dado por: $$V_t=z\frac{1-\left [ \frac{1}{(1+i)^n} \right ]}{1-\left [ \frac{1}{(1+i)} \right ]}$$

con $z=50'000$ , $i=0.06$ y $n=20$ Lo entiendo: $$V_t\approx 50'000 \left (\frac{0.688}{0.566} \right )\approx 608'000$$

Mi libro dice que es un gran premio, pero no soy millonario en este momento. Habría sido millonario si me hubieran pagado el millón de dólares al final del programa. Pero no puedo entender por qué parece que soy menos rico. Supongamos que no voy a gastar el dinero que me van a dar, en veinte años lo tendré: $$1'000'000\cdot(1+0.06)=1'060'000$$ Que obviamente es mayor que 1'000'000. ¿Podría explicarme cuál es el razonamiento que hay detrás del valor actual de 608'000 dólares? Gracias por la ayuda que me puedan brindar.

Answer 1

Te has equivocado en la última suma. En veinte años si inviertes el millón al 6% tendrás:

$1,000,000 \cdot (1 + .06) ^ {20} = 3,200,000$

Creo que la forma más fácil de entender este resultado es con una tabla. Esta tabla pregunta cuál es el valor actual de cada pago, el valor de cada año de pago en el año de la adjudicación (t=0). La columna de la extrema derecha suma esos pagos para calcular el valor actual neto de los pagos desde el tiempo = 0 hasta el tiempo = t. Puedes ver que el número de la fila 19, columna de la extrema derecha, es el valor actual neto deseado de \$608k.

+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| Year | Value of $  | Value of $  | Payment   | Value at 0   | Cumulative value |
| (t)  | in year 0   | in year t   | in year t | of payment   | of payments      |
|      | at time t   | at time 0   |           | in year t    | through t at 0   |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 0    |  1.00       |  1.00       |  50,000   |  50,000      |  50,000          |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 1    |  1.06       |  0.94       |  50,000   |  47,170      |  97,170          |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 2    |  1.12       |  0.89       |  50,000   |  44,500      |  141,670         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 3    |  1.19       |  0.84       |  50,000   |  41,981      |  183,651         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 4    |  1.26       |  0.79       |  50,000   |  39,605      |  223,255         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 5    |  1.34       |  0.75       |  50,000   |  37,363      |  260,618         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 6    |  1.42       |  0.70       |  50,000   |  35,248      |  295,866         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 7    |  1.50       |  0.67       |  50,000   |  33,253      |  329,119         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 8    |  1.59       |  0.63       |  50,000   |  31,371      |  360,490         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 9    |  1.69       |  0.59       |  50,000   |  29,595      |  390,085         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 10   |  1.79       |  0.56       |  50,000   |  27,920      |  418,004         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 11   |  1.90       |  0.53       |  50,000   |  26,339      |  444,344         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 12   |  2.01       |  0.50       |  50,000   |  24,848      |  469,192         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 13   |  2.13       |  0.47       |  50,000   |  23,442      |  492,634         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 14   |  2.26       |  0.44       |  50,000   |  22,115      |  514,749         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 15   |  2.40       |  0.42       |  50,000   |  20,863      |  535,612         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 16   |  2.54       |  0.39       |  50,000   |  19,682      |  555,295         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 17   |  2.69       |  0.37       |  50,000   |  18,568      |  573,863         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 18   |  2.85       |  0.35       |  50,000   |  17,517      |  591,380         |
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+
| 19   |  3.03       |  0.33       |  50,000   |  16,526      |  607,906 (award NPV)|
+------+-------------+-------------+-----------+--------------+------------------+

Ahora que vemos cómo se calcula esta cifra de 608 dólares, ¿cómo debemos interpretarla? La respuesta clásica es preguntar "¿qué pagaría alguien por su premio?". Para simplificar, ignoremos el riesgo o asumamos que la cifra del 6% encapsula completamente el riesgo. Imaginemos a un inversor neutral al riesgo, con bolsillos profundos, pero crítico, tiene las mismas opciones de inversión que el programa de juegos . ¿Cuánto le pagarían por su premio? ¿Y si hubiera muchos inversores de este tipo que se repartieran todos los beneficios para pagarte exactamente lo que creen que vale esa inversión? ¿Cuál es el máximo absoluto que pagarían? Pagarían \N 607.906 dólares.

¿Por qué? Porque digamos que invirtieron 607.906 dólares al 6% anual con el plan de vender lo que sobrara. ¿Qué pasaría con su saldo a lo largo del tiempo?

+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| Starting      | Interest (t) | Cash Out (t) | Ending Balance (t) |
|   Balance (t) |              |              |                    |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 607,906       | 0            | 50,000       | 557,906            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 557,906       | 33,474       | 50,000       | 541,380            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 541,380       | 32,483       | 50,000       | 523,863            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 523,863       | 31,432       | 50,000       | 505,295            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 505,295       | 30,318       | 50,000       | 485,612            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 485,612       | 29,137       | 50,000       | 464,749            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 464,749       | 27,885       | 50,000       | 442,634            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 442,634       | 26,558       | 50,000       | 419,192            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 419,192       | 25,152       | 50,000       | 394,344            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 394,344       | 23,661       | 50,000       | 368,004            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 368,004       | 22,080       | 50,000       | 340,085            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 340,085       | 20,405       | 50,000       | 310,490            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 310,490       | 18,629       | 50,000       | 279,119            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 279,119       | 16,747       | 50,000       | 245,866            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 245,866       | 14,752       | 50,000       | 210,618            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 210,618       | 12,637       | 50,000       | 173,255            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 173,255       | 10,395       | 50,000       | 133,651            |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 133,651       | 8,019        | 50,000       | 91,670             |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 91,670        | 5,500        | 50,000       | 47,170             |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+
| 47,170        | 2,830        | 50,000       | 0                  |
+---------------+--------------+--------------+--------------------+

Es decir, tendrían exactamente el dinero suficiente para hacer los pagos requeridos de 50.000 dólares en cada período y no les sobraría nada.