Hace poco me encontré con un ejemplo interesante de por qué el equilibrio general no tiene por qué existir con una utilidad casi lineal (por si a alguien le interesa, lo pongo al final). Para que el ejemplo funcione, hay que suponer que la dotación de una persona es lo suficientemente baja como para descartar un equilibrio en el que todos los agentes eligen un paquete interior.
Me preguntaba qué supuesto de los teoremas de existencia estándar viola esto. Supongo que se trata de la suposición de que las preferencias son convexas.
También me preguntaba si alguien puede arrojar algo de luz sobre por qué este tipo de contraejemplo debe fallar (si es que debe hacerlo) si las dotaciones son lo suficientemente altas como para permitir un equilibrio interior.
El ejemplo . Supongamos que hay dos individuos $A, B$ , cada uno con la misma función de utilidad $u = x + \ln(y)$ . Las dotaciones son $w^a = (0, 1)$ , $w^b = (4, 3)$ donde el primer componente denota la posesión del bien $x$ . Normalizar $p_x \equiv 1$ y definir $p \equiv p_y$ . Resolver $A$ El problema de optimización de la empresa revela que exigen $x^a = (p-1, 1/p)$ si $p \geq 1$ pero, por otra parte, exigen su dotación para que $x^a = (0, 1)$ . Mientras tanto, resolver $B's$ problema revela que $x^b = (3 + 3p, 1/p)$ .
Para empezar, vamos a comprobar si existe un equilibrio con $p \geq 1$ . Dado que hay $4$ unidades de $y$ en total, la compensación del mercado requeriría entonces que $$ \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = 4 \iff p = \frac{1}{2}$$ que contradice $p \geq 1$ . Por lo tanto, no existe tal equilibrio.
A continuación, busquemos cualquier equilibrio con $p < 1$ . Dado que hay $4$ unidades de $x$ la compensación del mercado requeriría $$ 0 + 3 + 3p = 4 \iff p = 4/3$$ que contradice $p < 1$ . Por lo tanto, no existe un equilibrio con $p < 1$ o bien.
ACTUALIZACIÓN: Así que resulta que he cometido un error muy básico, y el equilibrio es $p = 1/3$ (la solución de la ecuación $0 + 3 + 3p = 4$ ).
