Derivación de la tasa de ahorro de la regla de oro en un modelo de Solow

Question

Consideremos una economía descrita por la función de producción por trabajador: $$y = f(k) = 2k^\frac{1}{2}$$ y una tasa de depreciación $$ of $ .05, 5%$.

Teniendo en cuenta lo que sabemos del nivel de capital de la regla de oro, encuentre el nivel de capital de la regla de oro $k_{gold}$ y la salida $y_{gold}$ utilizando la información anterior.

Supongamos que no hay una tasa de crecimiento de la población $n = 0$ . Dada la ecuación del modelo de Solow $(\Delta k = sf(k) – \delta k)$ y las respuestas para $k^*$ y $y^*$ que tienes en la parte A, ¿qué tasa de ahorro debe tener este país para situarnos en el nivel de la regla de oro del capital?

Esto es lo que hice:

En la parte A, tomé las derivadas de la tasa de depreciación, y la función de producción por trabajador, y obtuve que $K =.05$ sólo por la regla de la potencia simple. Para hallar la salida he enchufado $K=.05$ en la función de producción función de producción por trabajador para obtener $2(.05)^{1/2}$ y se obtuvo un resultado de $.447$

Parte B: Como la ecuación que necesito ahora es $sf(k) = \delta k$ que usando lo que sé, $s\times.447 =.05 \times .05$ Resolver para $s$ Entiendo que la tasa de ahorro es $0.556$ %.

Sin embargo, esto no es correcto. Por favor, ayúdeme a encontrar el método de solución correcto y la solución correcta.

Answer 1

La "regla de oro" es el nivel en el que el consumo en estado estacionario es máximo, dados los parámetros del modelo. El consumo en estado estacionario es

$$c^* = (1-s^*)\cdot f[k^*(s^*)] = f[k^*(s^*)] - s^*f[k^*(s^*)] \tag{1}$$

donde $0<s^*<1$

También tenemos que, en el estado estacionario (para un capital constante)

$$s^*f[k^*(s^*)] = \delta k^*(s^*) \tag{2}$$

Inserción de $(2)$ en $(1)$ ,

$$c^* = f[k^*(s^*)] - \delta k^*(s^*) \tag{3}$$

Queremos maximizar el consumo en estado estacionario, así que tomamos la primera derivada y la hacemos igual a cero,

$$\frac {\partial c^*}{\partial s^*} = f'[k^*(s^*)]\cdot \frac {{\rm d}k^*}{{\rm d}s^*} - \delta \frac {{\rm d}k^*}{{\rm d}s^*} =0 $$

$$\implies \big(f'[k^*(s^*)]\ - \delta \big)\frac {{\rm d}k^*}{{\rm d}s^*} =0 \implies f'[k^*(s^*)] = \delta \tag{4} $$

A partir de la función de producción tenemos

$$f'(k) = \frac 1{\sqrt {k}} = \delta \implies k^* = \frac 1 {\delta^2}$$

El resto son evidentes.

Answer 2

Como la tasa de depreciación ya es una "derivada" (de la línea $$\delta k$$ ), no estoy seguro de lo que quieres decir con "tomar la derivada de la tasa". Si tomas la derivada de la tasa, obtienes cero. En cualquier caso, si entiendo tu pregunta, es cierto que quieres tomar la derivada de f, y ponerla igual a la tasa de depreciación, y resolver para k. ¿Qué obtienes cuando tomas la derivada de f? ¿Qué es esa "regla de la potencia simple" que has utilizado?