¿Opción y probabilidad de terminar en el dinero?

Question

Esta parece ser otra pregunta fácil pero estoy un poco confundido. Sé que el delta es un proxy para una opción que finaliza en el dinero (ITM). El delta también resulta ser N(d1) en el modelo de precios de BSM. N(d1) suele ser bastante cercano a N(d2) pero no exacto y se desvía a medida que aumenta el tiempo hasta la expiración. Algunas fuentes dicen que N(d2) en realidad es la probabilidad de que la opción expire en el dinero.

Sin embargo, si observas la ecuación de N(d1) que se muestra a continuación, verás que involucra a "r", que es el resultado de la fijación de precios neutral al riesgo.

Una fuente final menciona que la ecuación d1 anterior, involucrando a "r", en realidad no es precisa para la probabilidad de que una opción expire ITM. De hecho, esta fuente afirma que "r" debería ser reemplazado por mu, o el rendimiento medio del activo subyacente. Además, el signo + subsiguiente debería ser reemplazado por un signo -. Básicamente afirma que deberíamos examinar las probabilidades en un mundo neutral al riesgo.

Así que ahora estoy confundido. ¿Qué me estoy perdiendo? Si realmente quiero calcular la probabilidad de que una opción finalice ITM, ¿qué ecuación debería usar? ¿Tienen razón todas las fuentes y solo estoy pasando por alto pequeñas advertencias?

¡Gracias!

Answer 1

Hay que tener cuidado con $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$. De hecho, $N(d_2)$ es la probabilidad del evento $\{S_T\geq K\}$ en el mundo neutral al riesgo. Ten en cuenta que $r$ (o $r-q$) es la deriva en el mundo neutral al riesgo y por lo tanto esta variable ocurre en $d_2$. Dado que el tiempo a vencimiento y la volatilidad suelen ser números pequeños, es decir, $d_1=d_2+\sigma\sqrt{T-t}\approx d_2$, es decir, Delta aproxima la probabilidad ITM.

Por cierto, Delta también puede ser vista como una probabilidad: Delta es la probabilidad de que la opción esté ITM bajo la medida de stock (esta es otra medida de martingala equivalente que utiliza el stock como numerario).

Esto es importante: Si quieres calcular la probabilidad de que tu stock esté por encima de un cierto umbral $K$ en el día $T$, entonces por favor ¡no uses ninguna de estas fórmulas! Podrías volver a $\mathbb{P}$ y reemplazar $r$ por $\mu$ pero tienes al menos dos problemas importantes:

1) ¿cómo estimas $\mu$? Hay baja autocorrelación en los log-retornos y estimar la deriva esperada de un stock es bastante difícil.

2) la fórmula solo es verdadera si el precio de la acción sigue un movimiento Browniano geométrico pero tenemos muchas pruebas de que el mundo real es (mucho) más complicado: colas más gruesas, asimetrías, volatilidad estocástica, etc.

Por lo tanto, el modelo de Black-Scholes (y sus probabilidades relacionadas) es una buena manera de comenzar a aprender sobre modelos financieros pero no deberías aplicarlos en la vida real, son demasiado simplificados.

Dicho esto, puedes intentar estimar probabilidades del mundo real, por ejemplo, uno puede obtener la distribución bajo $\mathbb{Q}$ a partir de los precios de opciones negociadas (Breeden Litzenberger 1978) y luego transformar esta distribución en una distribución del mundo real, ver Capítulo 16 en el libro de Stephen Taylor (Asset Price Dynamics, Volatility, and Prediction, 2005).