Aparte de la expansión binomial, ¿cuál es la relación entre $B$ y $w$ ?
Según he entendido correctamente, no hay una relación inmediata entre el operador de retardo $B$ y los pesos $w$ . Sin embargo, pasando del operador de diferenciación fraccionaria, $(1-B)^d$ a $\hat{X}_t$ puede hacerse de la siguiente manera: \begin{align} (1-B)^d X_t &= \sum_{k=0}^{\infty} \begin{pmatrix} d \\ k\\ \end{pmatrix} (-B)^k \cdot X_t\\\\c &=X_t \_suma_{k=0}^{\infty} (-B)^k \_prod_{i=0}^{k-1}\frac{d-i}{k-i} &= X_t \left(1-d\cdot B + \frac{d(d-1)}{2!}B^2 - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!}B^3 + \cdots\right)\c &= X_t - d\cdot X_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} X_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} X_{t-3} + \cdots \\cdots &= \\Nsuma_{k=0}^{infty} \omega_kX_{t-k}\N &= \hat{X}_t \fin{align} donde $\omega=\left\{1,-d,\frac{d(d-1)}{2!},-\frac{d(d-1)(d-2)}{3!},\ldots\right\}$ es la expansión binomial, como se ha señalado. Además, hemos utilizado (por definición) el operador de retardo aplicado a $X_t$ , a saber $B^k X_t = X_{t-k}$ , en la penúltima igualdad. Creo que la intención de los autores era simplificar la notación y reformularla en algo más reconocible para la gente de finanzas.
¿Cuál es la relevancia del gráfico?
El gráfico le muestra la memoria-obtención (en términos de $k$ incluyó rezagos de los precios logarítmicos, $X_{t-1},X_{t-2},\ldots$ utilizado para diferenciar el proceso de precios) de los procesos diferenciados fraccionalmente, para diferentes valores de $d\in [0,1]$ . Como muestra el gráfico, existe un corte de memoria para el proceso de precios diferenciado en primer lugar ( $d=1$ ), en el sentido de que la historia de los precios anteriores no se tiene en cuenta al transformar el proceso en una serie temporal estacionaria. Esta es también una de las motivaciones para utilizar la diferenciación fraccionaria (FD), ya que los precios logarítmicos $X_t$ depende de muchos rezagos anteriores y no sólo del primer rezago, $X_{t-1}$ . Para preservar esta estructura de dependencia (memoria), recurrimos a FD para $d<1$ . Si representamos los rendimientos fraccionados para dos valores de $d=\{0.5,1\}$ lo consigues: \begin{align} &d=1: \qquad \; \: \: \hat{X}_t=X_t - X_{t-1}\\ &d=0.5: \qquad \hat{X}_t=X_t - 0.5X_{t-1} - 0.125 X_{t-2} - 0.0625 X_{t-3} -\cdots, \end{align} y de forma concluyente para $d=1$ tenemos la primera diferenciación estándar de los precios logarítmicos, y vemos claramente un corte en $k=2$ ya que $\omega_k=0$ para todos $k\geq 2$ . Esto no ocurre para $d=0.5$ ya que $\omega = \{1,-0.5,-0.125,-0.0625,\ldots\}$ .
Información adicional: En uno de sus juegos de diapositivas argumenta que existe un compromiso entre estacionariedad y memoria eligiendo $d$ en consecuencia. Sin embargo, como se ve en su propio ejemplo (ejemplo 2: Utiliza una prueba Dickey-Fuller aumentada para probar la serie temporal bajo diferentes valores de $d$ ), la elección de $d$ es claramente sensible a la elección del activo y de la clase de activo. Esto hace que sea difícil centrarse en una elección óptima de $d$ Si usted es un gestor de carteras que trabaja con un gran conjunto de activos.
Espero que esto ayude.
