¿Cómo calcular el aumento del PIB utilizando la función de producción Cobb-Douglas?

Question

Utilizo este intercambio de pilas económicas por primera vez. Tengo una pregunta sobre la función de producción Cobb-Douglas. La pregunta es la siguiente: El PIB de una economía crece al 3% anual en términos reales. La población es constante. El gobierno decide permitir un aumento significativo de la inmigración, de modo que la población (y la mano de obra) empieza a crecer un 1% al año. El producto se produce en la economía según una función de producción Cobb-Douglas. La proporción de las rentas del trabajo en el PIB es del 70%. ¿Cuánto aumentará el PIB como consecuencia de la nueva política de inmigración al cabo de 20 años? ¿Cuánto aumentará el PIB per cápita?

No soy capaz de entender cómo utilizar la función en este problema. Perdonad si he planteado la pregunta de forma incorrecta. Gracias.

Answer 1

La función de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala es \begin{equation} Q=K^{\alpha}L^{1-\alpha} \end{equation} Para simplificar, utilizamos logaritmos para las tasas de cambio de sus determinantes \begin{equation} ln(Q)=\alpha ln(K)+(1-\alpha)ln(L) \end{equation}

Diferenciando con respecto al tiempo en ambos lados de la ecuación

\begin{equation} \frac{1}{Q}\frac{dQ}{dt}=\alpha\frac{1}{K}\frac{dK}{dt}+(1-\alpha)\frac{1}{L}\frac{dL}{dt} \end{equation}

\begin{equation} \begin{array}{l} \text{Growth rate of GDP:}\frac{1}{Q}\frac{dQ}{dt}=G_{Q} \\ \text{Growth rate of Capital:}\frac{1}{K}\frac{dK}{dt}=G_{K} \\ \text{Growth rate of Labor:}\frac{1}{L}\frac{dL}{dt}=G_{L} \end{array} \end{equation} \begin{equation} G_{Q}=\alpha G_{K}+(1-\alpha)G_{L} \end{equation} Dónde $\alpha$ es la participación del capital en el producto interior bruto. En su caso $(1-\alpha)=70\%$ Por lo tanto $\alpha=30\%$

Así, $G_{k}=0\%$ (El capital en este caso no cambia), $G_{L}=1\%$ Sustituyendo en la ecuación original \begin{equation} G_{Q}=0.7\cdot 1\%=0.7\% \end{equation} para una mayor tasa de crecimiento.

Añadiendo a la tasa de crecimiento anterior ( $3\%$ ), obtenemos $3\%+0.7\%=3.7\%$ Encontrar el nuevo PIB después de 20 años. \begin{equation} (1+0.037)^{20}=2.068117 \end{equation}