Verificación de dos propiedades de la cópula de Clayton

Question

Así que estoy tratando de verificar las dos primeras propiedades de una cópula para el modelo de Clayton. Las dos primeras propiedades son:

1. $C(u_1,…,u_d)$ es no decreciente en cada componente, $u_i$

2. El $i^{th}$ La distribución marginal se obtiene estableciendo $u_j=1$ para $j!=i$ y como está uniformemente distribuido, $C(1,…,1,u_i,1,…,1)=u_i$ .

La cópula de Clayton se define como $$C(u,v,\theta)=(u^{-\theta}+v^{-\theta}-1)^{- \frac{1}{\theta} }, \theta>0$$

Puede que me equivoque completamente, pero ¿son estas dos propiedades lo mismo que decir:

1. $C(u,0,\theta)=C(0,v,\theta)=0$

2. $C(u,1,\theta)=u$ y $C(1,v,\theta)=v$

En cuyo caso,

$$C(u,0,\theta)=(u^{-\theta}+1-1)^{-\frac{1}{\theta}}=(1+v^{-\theta}-1)^{- \frac{1}{\theta} }=C(0,v,\theta)$$

$$\implies C(u,0,\theta)=(u^{-\theta})^{-\frac{1}{\theta}}=(v^{-\theta})^{- \frac{1}{\theta} }=C(0,v,\theta)$$

$$\implies C(u,0,\theta)=u=v=C(0,v,\theta)$$

Y para la segunda propiedad:

$$C(u,1,\theta)=(u^{-\theta}+1^{-\theta}-1)^{-\frac{1}{\theta}}, C(1,v,\theta)= (1^{-\theta}+v^{-\theta}-1)^{- \frac{1}{\theta} }$$

$$\implies C(u,1,\theta)=(u^{-\theta}+1-1)^{-\frac{1}{\theta}}, C(1,v,\theta)=(1+v^{-\theta}-1)^{- \frac{1}{\theta} }$$

$$\implies C(u,1,\theta)=(u^{-\theta})^{-\frac{1}{\theta}}, C(1,v,\theta)=(v^{-\theta})^{- \frac{1}{\theta} }$$

$$\implies C(u,1,\theta)=u, C(1,v,\theta)=v$$

Answer 1

Tu razonamiento para la primera propiedad no parece correcto o al menos no lo entiendo. Sus argumentos para la segunda propiedad parecen sólidos. Pero la redacción de la segunda propiedad es un poco confusa. Deberías exponerla más claramente, por ejemplo: $C(1,\ldots,1,u_j,1,\ldots,1) = u_j$ para todos $u_j\in [0,1]$ y $j\in 1,\ldots, d.$

No lo mencionas, pero además de las dos propiedades que indicas tendrías que mostrar dos propiedades más para asegurarte de que Clayton es una cópula correcta. La primera es que $C$ es una función bien definida desde el cubo unitario hasta $[0,1]$ y luego la desigualdad del rectángulo, que es un poco más complicada.

Para su propiedad 1. tiene que demostrar que $C(u_1,v) \le C(u_2,v)$ para todos $v\in[0,1]$ y $0\le u_1\le u_2\le 1$ y la afirmación análoga para $v$ .

Una vez establecida la definición, se puede argumentar lo siguiente: $-\theta <0$ por lo que $u_1^{-\theta}\ge u_2^{-\theta}$ , lo que significa que $u_1^{-\theta} + v^{-\theta} -1 \ge u_2^{-\theta} + v^{-\theta} -1$ . Ahora el exponencial con $-\frac{1}{\theta}$ invierte la desigualdad de nuevo y se concluye $$(u_1^{-\theta} + v^{-\theta} -1)^{-\frac{1}{\theta}} \le (u_2^{-\theta} + v^{-\theta} -1)^{-\frac{1}{\theta}}.$$

Answer 2

1. Fijar u, obtener la derivada de v. Y volver a hacerlo para fijar v.
2. Para obtener la densidad marginal de v, hay que hacer la integración con respecto a u