La opción de venta y la opción de compra tienen el mismo precio

Question

Esta es una pregunta muy frecuente y no he podido encontrar una respuesta satisfactoria. Permítanme que la formule primero. Supongamos que los tipos de interés son $0$ y considere una opción de venta at the money y una opción de compra at the money (ambas europeas) sobre la misma acción (autofinanciada, por tanto sin dividendos) con el mismo vencimiento. La rentabilidad de la opción de venta está limitada por el precio de ejercicio, mientras que la rentabilidad de la opción de compra es ilimitada. Pero la paridad put-call dicta que tienen el mismo precio. ¿Cómo se explica esta "contradicción"?

Las explicaciones que he encontrado son todas sobre cómo los precios de las acciones se distribuyen lognormalmente, etc. Esta explicación no puede ser cierta ya que la paridad put-call es independiente del modelo. Para hacerlo un poco formal, considero el primer teorema de la fijación de precios de los activos. Entonces, para la put y la call tenemos

$$C = E^Q[\max(S_T - S_0,0)]$$ $$P = E^Q[\max(S_0 - S_T,0)]$$

Aquí $Q$ es la medida neutral de riesgo (o el $T$ -medida terminal). Restando $P$ de $C$ obtenemos $$C - P = E^Q[\max(S_T - S_0,0)] - E^Q[\max(S_0-S_T,0)]$$ Como la expectativa es lineal y $S_T - S_ 0 = \max(S_T - S_0,0) - \max(S_0-S_T,0)$ tenemos $$C - P = E^Q[S_T - S_0] = E^Q[S_T] - S_0$$ Según el primer teorema de la fijación de precios de los activos, la ausencia de arbitraje implica que los precios descontados de los activos son martingalas. La tasa de descuento es $0$ en este ejemplo. Por lo tanto, $E^Q[S_T] = S_0$ . Finalmente, $$C = P$$ Así que llegué a esta conclusión basándome en dos cosas: no hay arbitraje y los tipos de interés son $0$ . En ninguna parte impuse directa o indirectamente una suposición sobre la distribución de $S_T$ en $Q$ . ¿Cuál es la explicación de este fenómeno? La única explicación que se me ocurre es que no se trata necesariamente de una oportunidad de arbitraje si dos contratos, uno con una retribución limitada y otro sin ella, tienen el mismo precio. Otro ejemplo es un bono y una acción que casualmente tienen el mismo precio. El bono tiene una rentabilidad limitada (fija) mientras que la acción tiene una rentabilidad no limitada. No hay nada raro en ello. Del mismo modo, no hay nada raro en la opción de venta y en la opción de compra del ejemplo. ¿Hay algo más?

Answer 1

Una cosa que hay que notar es que efectivamente $E^Q[S_T]=S_0$ por construcción, aunque el precio de las acciones sólo puede bajar a 0, pero puede subir a $2\,S_0, 3\,S_0, 100\,S_0$ , ...

Por lo tanto, implícitamente, existen restricciones en la distribución del precio de las acciones en el momento T (de lo contrario $S_0$ cambiaría):

• puede ser que la distribución real sea simétrica en torno a $S_0$ (en particular, $S_T$ podría entonces, como máximo, llegar a $2\,S_0$ ) - eso haría inmediatamente plausible que las opciones de compra y de venta tuvieran el mismo precio
• puede ser que el precio, por ejemplo, baje al 10% o suba al 1000% de $S_0$ - pero luego, para llevar la expectativa de $S_T$ volver a $S_0$ necesitaríamos una probabilidad muy alta de caída, y una probabilidad muy baja de subida ( $P_{down} \cdot 0.1 + P_{up} \cdot 10 = 1$ ).

Por lo tanto, creo que la idea crucial aquí es que el beneficio de la compra es ilimitado, sí, pero también lo es el precio de las acciones en $S_T$ - Sin embargo, el precio de las acciones ahora es sólo $S_0$ que impone restricciones que implican $C=P$ .

Rompecabezas relacionado, por cierto: Supongamos que tiene un digital superior (pagando si $S_T$ > $S_0$ ). ¿Cuál es el valor a medida que vol llega al infinito?

Answer 2

Déjame reescribir un poco lo que tienes. En primer lugar, la paridad put-call exige efectivamente que para el valor a plazo $F = E^Q[S_T]$ y para

$$ \{\hat{C}, \hat{P} \}= \{C, P\} \cdot \int_0^T r(s) ds $$

$$ F = K + \hat{C} - \hat{P} $$

Esto es cierto para cualquier huelga $K$ . Ahora, cuando los costes de transporte $c(t)$ y la tarifa corta $r(t)$ son idénticos a cero, entonces por argumentos de arbitraje $F=S_0$ y también conseguimos que

$$ F = S_0 = K + \hat{C} - \hat{P}= K + {C} - {P}. $$

Si elegimos $K=S_0$ con cero $r$ y $c$ obtenemos necesariamente $C-P=0$ o

$$ C=P $$

independientemente del modelo subyacente.

Así que, sí, no hay nada sospechoso. Sólo por las condiciones de contorno, cualquier modelo continuo tendría claramente algunos huelga $\tilde{K}$ en el que $C_{\tilde{K}}=P_{\tilde{K}}$ . Nuestros argumentos de arbitraje sólo nos ponen en la medida neutral de riesgo donde necesariamente surge que $\tilde{K}=S_0$ .

Si estuviéramos en el espacio de probabilidad del mundo real $\Theta$ con tipos cero, encontraríamos que (genéricamente) para $K_0 := S_0$

$$ E^\Theta\left[ (S_T-K_0)^+ \right] \neq E^\Theta\left[ (K_0-S_T)^+ \right] $$

incluso si utilizamos el movimiento browniano geométrico.

Answer 3

La paridad Put Call se basa exclusivamente en no hay estrategia de oportunidad de arbitraje , independiente de la distribución del precio de las acciones. Siempre se puede construir una opción de venta a partir de una opción de compra, un bono sin riesgo y una acción en el activo subyacente.

Put largo = Acción corta + Call largo + Bono largo

Por lo tanto, la razón por la que una opción acotada como la put tiene el mismo precio que la call no acotada es fundamentalmente porque la relación también incluye una acción no acotada y un bono acotado. Editar según lo sugerido por Fab en los comentarios: La distribución de probabilidad del precio futuro de las acciones no es irrelevante para los precios de las opciones de venta y compra, pero está limitada (por el precio actual de las acciones)