Tengo problemas con un modelo ( enlace ) en el que estoy trabajando para una revisión.
El autor utiliza un modelo de hotelling de dos empresas con un espacio de producto multidimensional (x,y)con características ortogonales, que se distribuyen uniformemente sobre el cuadrado de la unidad. Las preferencias son estándar:
$$ U_i = V - p_i -t |x-x_i| - t |y-y_i| $$
Entiendo la mecánica del modelo (encontrar el consumidor indiferente, derivar la demanda, encontrar los beneficios, la mejor respuesta y la ecuación), pero tengo un problema con las matemáticas que hay detrás de algunas funciones de beneficios y funciones de excedente del consumidor. En particular, las integrales sobre las densidades y cdf me molestan mucho.
En la prueba (ec. 31) el autor encuentra la demanda en el caso en que $p_1 > p_2$ mediante una integral como la siguiente:
$$ D_1 = \int_0^\hat{x} F(y \leq \tilde y(x)) f(x) dx$$
$\hat{x}$ es el intercepto del lugar de los consumidores indiferentes. $\tilde{y}$ es el consumidor marginal de la empresa 1. F() debería ser la FDA y f(x) la densidad marginal. Entiendo que $$F(y \leq \tilde y(x)) = \int_0^{\tilde{y}} f(y) dy = y ]_0^\tilde{y} $$
¿Es esto correcto?
Entonces, no entiendo qué $f(x)$ es... dado que x es el uniforme estándar, ¿no debería ser sólo 1 que después de la integración se convertiría en $x]_0^\hat{x}$ ?
Lo siento, es muy tarde y mi cerebro está sin energía. Tengo que preguntar ya que estoy muy lejos de mi zona de confort... esperando que puedas ayudar un poco.
