Vol. implícito SABR: aproximación normal frente a aproximación logarítmica normal

Question

Tengo problemas para entender la diferencia entre las volatilidades implícitas normales y log-normales del modelo SABR de Hagans: http://web.math.ku.dk/~rolf/SABR.pdf .

Por lo que tengo entendido, el principal resultado presentado por Hagan es la fórmula de volatilidad implícita dada por la ecuación (2.17a) en ese documento. Sin embargo, al leer los apéndices me he confundido con la diferencia entre la volatilidad implícita normal y la volatilidad implícita lognormal y cómo el valor de $\beta$ efectos esto. El principal resultado presentado por Hagan es la volatilidad implícita negra obtenida mediante las fórmulas de precios de las opciones SABR y las fórmulas de precios de las opciones negras. Hay algunas cosas que no entiendo:

1. ¿Para qué valores de $\beta$ ¿es válida la fórmula de volatilidad implícita Black (log normal) para los precios de las opciones SABR presentada por Hagan?

2. ¿Cuál es la fórmula normal de la volatilidad implícita y para qué valores de $\beta$ ¿es válida la volatilidad implícita normal para?

3. Hagan también presenta implícitamente $\textit{normal}$ volatilidad para el modelo de Black, pero pensé que el modelo de Black era para el log normal?

4. ¿Son válidas las volatilidades implícitas negras (log normal) y las volatilidades implícitas normales para el mismo rango de valores de $\beta$ ¿o diferentes?

Inicialmente, pensé que la aproximación lognormal de Hagan de la volatilidad implícita (negra) era válida para $0 < \beta \leq 1$ debido a que Hagan dice que si $\beta = 0$ esto representa el "modelo normal estocástico". Pero ya no estoy seguro.

En general, estoy confundido con la diferencia entre los vols implícitos normales y logarítmicos normales y qué papel juega la beta en la determinación de estos. Cualquier ayuda para entender esto sería genial, muchas gracias.

Answer 1

No voy a responder a todas sus preguntas, pero permítame intentarlo.

1. No tengo una respuesta cualificada para esto. Sin embargo, en la práctica $\beta$ está siempre acotado de forma que $\beta \in [0,1]$ (0 y 1 incluidos). Véase el capítulo de SABR en Derman & Miller (2006). Pero hasta donde yo sé $\beta$ no está acotado en el documento original, por lo que, en teoría, puede tomar cualquier valor no negativo y la fórmula de fijación de precios debería cumplirse.

2. Establecer $\epsilon=1$ ¡y ver la ecuación A.67!

3. Lo implícito NORMAL La volatilidad es el nivel de volatilidad que generará el precio de la opción cuando se utilice la fórmula de fijación de precios de Bachellier. véase la ecuación A.54a.

Ahora la última parte de tu post:

No confunda la distribución del activo con las volatilidades implícitas. Cuando $\beta=0$ entonces el activo es normal estocástico acondicionado en el proceso de volatilidad.

"...si se aplicara la fórmula del vol implícito logarítmico normal pero con $\beta=0$ ¿se convierte entonces en normal estocástica?"

Una vez más, estas dos cosas no tienen nada que ver. El volatilidad log-normal implícita es simplemente una frase que utilizamos porque está relacionada con el modelo Black-Scholes/Blacks donde el activo es un GBM y por tanto log-normal. Así que sí, la fórmula de volatilidad log-normal implícita también es válido para $\beta=0$