Rendimientos discretos frente a los rendimientos logarítmicos de los activos

Question

Ya se han publicado posts similares aquí, pero, no obstante, me parece que merece la pena publicar la pregunta: ¿por qué algunos afirman que los rendimientos logarítmicos de los activos son más adecuados para las estadísticas que los rendimientos discretos?

Por ejemplo, en el ESMA CESR guidliens sobre SSRI se utilizan los retornos de los registros. Personalmente, creo que los rendimientos discretos son tan buenos para la gestión del riesgo como los continuos. Además, en el contexto de la cartera, puedo calcular la rentabilidad de la cartera ponderando las rentabilidades discretas de los activos, lo que no funciona con las rentabilidades logarítmicas. Es cierto que la agregación temporal de los rendimientos logarítmicos es más fácil. Pero la gente prefiere pensar en rendimientos discretos. Si mi valor liquidativo baja de $100$ a $92$ entonces he perdido $8\%$ y eso es todo.

¿Existe algún estudio al respecto, alguna buena referencia? Cualquier cosa que pueda decir a mi regulador por qué me quedo con los rendimientos discretos.

Answer 1

Los rendimientos aritméticos permiten una agregación transversal más fácil y los rendimientos logarítmicos permiten una agregación temporal más fácil.

La razón por la que se utilizan los rendimientos logarítmicos (para la renta variable) es que son aproximadamente invariables y, por lo tanto, es más fácil trabajar con ellos para estimar las distribuciones. Meucci describe mejor la invariabilidad aquí . La idea básica (de nuevo, para las acciones) es que la distribución de los precios de los valores es logarítmica normal, por lo que los rendimientos aritméticos también lo serán. Sin embargo, al realizar una transformación logarítmica se obtienen rendimientos aproximadamente normales, con los que es más fácil trabajar. Además, si se asume que se distribuyen normalmente, existen resultados convenientes para la convolución de series normales multivariantes. Esto es lo que permite una agregación temporal más fácil.

Sin embargo, no hay que tomar los rendimientos logarítmicos y utilizarlos para obtener el rendimiento aritmético de la cartera. Esto se debe a que, aunque se pueden relacionar a través del tiempo, las matemáticas no funcionan, especialmente en horizontes largos, de forma transversal. Por lo tanto, después de estimar la distribución de los rendimientos logarítmicos, el procedimiento adecuado es convertirlos en rendimientos aritméticos a efectos de la optimización de la cartera y la gestión del riesgo.

Answer 2

Para resumir lo que "John" acaba de explicar arriba:

Digamos que tiene una cartera de acciones durante varios años: $t_0, t_1, ..., t_m$ . Digamos que tiene $n$ acciones, por lo que las acciones $i$ tiene un vector de precios $X_i$ . La longitud de cada vector de precios es $m$ porque hay $m$ años.

Entonces, durante el primer año $t_1$ :

Calcule el $n$ diferentes rendimientos aritméticos para cada acción. Esto significa que las acciones $i$ tendrá un rendimiento aritmético durante el primer año como $r_i = (X(1) - X(0)) / X(0)$ . Suma todos estos rendimientos de las acciones, lo que te da la suma total de todos los rendimientos aritméticos del primer año $t_1$ así

$r(1) = r_1 + r_2 + ... r_n$ .

Esto significa que, para el primer año, se han sumado los rendimientos de la primera acción, más los rendimientos de la segunda acción, ..., más los rendimientos de la última acción $n$ . Esto le da el rendimiento total de todas las acciones, durante el primer año.

Para el año $t_2$ : Haz lo mismo. Esto te dará una suma total de todos los rendimientos aritméticos de las acciones durante el año 2, llámalo $r(2)$ .

$\vdots$

Hasta el año $t_m$ que le da un rendimiento aritmético total $r(m)$ sumando todos los rendimientos de las acciones durante el año $t_m$ .

Ahora, para deducir los rendimientos totales de la cartera para todo el periodo de tiempo, hay que sumar los rendimientos de cada año:

$r(1) + r(2) + ... r(m)$ (*)

PERO, no puedes sumar los rendimientos aritméticos de todos los años. Debe sumar los rendimientos logarítmicos para calcular el rendimiento total de la cartera. Porque cuando se suman los rendimientos de diferentes años, y se quiere pasar por el tiempo, se deben utilizar los rendimientos logarítmicos, ya que son invariables en el tiempo.

Así que debes transformar $r(1)$ a los rendimientos logarítmicos así:

$r(1) = \ln (1 + r(1))$

Por lo tanto, para calcular el rendimiento total de toda la cartera para todos los años, haga la expresión (*) así

$\ln (1 + r(1)) + \ln (1 + r(2)) + ... + \ln (1 + r(m))$

y llamemos a esta suma por $R$ . Se trata de una suma de rendimientos logarítmicos. Para transformar $R$ volver a los retornos simples normales, tienes que hacer así:

$e^R - 1$

y esta es su respuesta, es decir, los rendimientos totales de toda la cartera, durante los años $t_0...t_m$ .

Por lo tanto, se utilizan rendimientos aritméticos para calcular los rendimientos de las acciones dentro de un año determinado (porque los rendimientos aritméticos conservan las ponderaciones de cada acción). Pero cuando se quieren sumar los rendimientos que viajan en el tiempo, de un año a otro, hay que sumar los rendimientos logarítmicos.