¿Por qué los rendimientos simples son aditivos sobre los valores?

Question

He encontrado algunas fuentes por ejemplo este que hace la afirmación de que sobre una cartera, los rendimientos simples son aditivos. Puedo ver por qué no hay diferencia si usamos rendimientos netos o brutos mientras las ponderaciones sumen uno, pero no puedo ver por qué deberíamos obtener este comportamiento aditivo para una cantidad que tiene una división. ¿Quizás estoy utilizando una mala definición de peso?

Si alguien pudiera compartir una derivación para una cartera de dos activos sería suficiente.

Answer 1

Tenemos una cartera de dos activos, con precios $P_1(0), P_2(0)$ en $t=1$ . En el siguiente período, sus precios son $P_1(1), P_2(1)$ .

El valor de mercado de la cartera en $t=0$ es $V(0) = W_1 P_1(0) + W_2 P_2(0)$ .

Las ponderaciones de la cartera $\omega_i$ (para $i =1,2$ ) son: $$ \omega_i = \frac{W_i P_i(0)}{W_1 P_1(0) + W_2 P_2(0)}. $$

(Podemos ver fácilmente que $\omega_1 + \omega_2 = 1$ .)

El rendimiento de un activo $R_i$ está dada por: $$ R_i = \frac{P_i(1)}{P_i(0)} - 1. $$

El valor de mercado de la cartera $V(1)$ es igual a: $$ V(1) = W_1 P_1(0)(1+R_1) + W_2 P_2(0) (1+R_2). $$ Entonces, $$ V(1) = (W_1 P_1(0) + W_2P_2(0))(1 + \frac{W_1P_1(0)R_1}{W_1 P_1(0) + W_2P_2(0)} + \frac{W_2P_2(0)R_2}{W_1 P_1(0) + W_2P_2(0)}), $$ $$ V(1) = V(0) (1 + \omega_1 R_1 + \omega_2 R_2). $$ Si definimos la rentabilidad de la cartera $R$ como $\omega_1 R_1 + \omega_2 R_2$ entonces $$ V(1) = V(0) (1 + R). $$

Esto es más fácil de ver si normalizamos los precios.

Answer 2

No es cierto.

$$w_t=p_{1,t}q_{1,t}+p_{2,t}q_{2,t}$$ Sin pérdida de generalidad, para ignorar las divisiones, $q_{x,t}\equiv{q_{x,t+\Delta{t}}}.$

$$w_{t+\Delta{t}}=p_{1,t+\Delta{t}}q_{1,t+\Delta{t}}+p_{2,t+\Delta{t}}q_{2,t+\Delta{t}}.$$

$$\Delta{w}=p_{1,t+\Delta{t}}q_{1,t+\Delta{t}}+p_{2,t+\Delta{t}}q_{2,t+\Delta{t}}-p_{1,t}q_{1,t}-p_{2,t}q_{2,t}$$

$$\Delta{w}=\Delta{p_1}q_{1,t}+\Delta{p_2}q_{2,t}$$

$$r=\frac{\Delta{w}}{w_t}$$

$$r=\frac{\Delta{p_1}q_{1,t}}{p_{1,t}q_{1,t}+p_{2,t}q_{2,t}}+\frac{\Delta{p_2}q_{2,t}}{p_{1,t}q_{1,t}+p_{2,t}q_{2,t}}$$

Salvo en un par de casos especiales, como la quiebra, en la que el patrimonio se reduce a cero, esto no suele ser cierto. Por ejemplo, si se obtiene un rendimiento del 1000% en un \$1 investment and a 1% return on a \$ 100.000.000 entonces claramente los rendimientos no son aditivos.