¿Son el precio y la cantidad variables conjugadas?

Question

Estoy tomando una clase de termodinámica. En esta clase una de las cosas que se discute es cómo las derivadas parciales de la energía interna con respecto a los parámetros extensivos (entropía, volumen, número de mol, etc) dan lugar a los parámetros intensivos (temperatura, presión, potencial electroquímico, etc). Por ejemplo para la presión y el volumen:

$$ P = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} $$

La similitud entre los diagramas de presión-volumen y los gráficos de precio-cantidad (véase más abajo) me hizo pensar: ¿existe una relación conjugada similar entre el precio y la cantidad? Tal vez algo así:

$$ P = \left(\frac{\partial U}{\partial Q}\right)_{D^*} $$

Dónde $P$ es el precio, $Q$ es la cantidad, $D^*$ es la demanda, la oferta o el conjugado de cualquiera de ellas y $U$ es una especie de potencial económico (en contraposición al termodinámico). Este $U$ se puede encontrar con un intrgral pero ¿tiene nombre? ¿Podemos utilizar las transformadas de Legendre para generar más potenciales?

Answer 1

Lauwrence Lau (1969) ha señalado que "Samuelson ha señalado la dualidad básica que existe entre las funciones de utilidad directa e indirecta: Están conectadas por la transformación duaI de Legendre". Lau (1973, capítulo 1.3, sección 1.4) hace un uso intensivo de la transformación de Legendre para derivar las relaciones duales entre las funciones de producción y de utilidad. Este capítulo está disponible aquí . La mayor parte de la teoría de la dualidad entre las funciones de utilidad directa e indirecta, y entre las funciones de producción, coste y beneficio se basan en estas relaciones (véase también Blackorby, Primont y Russell, 1978).

Blackorby, Charles, Daniel Primont, R. Robert Russell, 1978, Dualidad, separabilidad y estructura funcional: Teoría y aplicaciones económicas , North-Holland.
Lau, L., 1973, Applications of Profit Functions, en Economía de la producción: Un enfoque dual de la teoría y las aplicaciones editado por Melvyn Fuss y Daniel L. McFadden, North-Holland.
Lau, L., 1969, La dualidad y la estructura de las funciones de utilidad, Revista de Teoría Económica , 1, 374-396.

Answer 2

Sea p la presión y V el volumen, entonces U = p x V, donde las unidades de presión por las unidades de volumen deben ser iguales a las unidades de trabajo, calor y energía.

Las tablas 2-4 de la Guía de las Unidades del SI del NIST muestran que la presión por el volumen son equivalentes al trabajo, la potencia y el calor expresados en unidades básicas del SI:

https://www.nist.gov/pml/special-publication-811/nist-guide-si-chapter-4-two-classes-si-units-and-si-prefixes

En física, la energía interna U de un sistema puede aumentar, permanecer constante o disminuir como resultado de un proceso natural, pero el total de todas las formas de energía del sistema y del entorno debe permanecer constante. Esto define un conjunto de relaciones de ley natural entre el sistema y el entorno durante un proceso.

Si P es el precio y Q la cantidad, entonces Ue = P x Q, donde las unidades de precio por las unidades de cantidad (edición: ingresos) deben ser las unidades del "potencial económico".

Yo diría que incluso si el precio y la cantidad pueden tratarse como variables conjugadas en un modelo, sigue existiendo el reto de establecer un modelo de ingresos como análogo a los modelos termodinámicos de energía interna dentro del contexto de la medición económica.