Considere el siguiente problema.
Consideremos ahora el siguiente teorema y su demostración. Mi pregunta es, ¿dónde se utiliza en el teorema que $c^\star + \alpha D^T \theta \ge 0$ ? Es decir, ¿por qué es importante? ¿Qué ocurre si es negativo?
Fuente: Duffie, Dynamic Arbitrage Pricing Theory
El problema restringe naturalmente el conjunto de vectores de consumo factibles a $\mathbb{R}_+^S$ (en cierto sentido, es difícil comer -1 manzanas). Un vector estrictamente positivo $\mathbf{c}^*$ implica una solución interior que le proporciona unas condiciones de optimización limpias y sin complicaciones.
Dejemos que $\mathbf{\Delta} $ sea un vector arbitrario en $\mathbb{R}^S$ . Dado que el vector $\mathbf{c}^*$ es estrictamente positivo, el vector $\mathbf{c}^* + \alpha \mathbf{\Delta}$ también es estrictamente positivo (es decir, consumo factible) para $\alpha$ en algún barrio lo suficientemente pequeño $[-k, k]$ .
Dejemos que $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{R}^N$ sea un vector arbitrario tal que $\boldsymbol{\theta} \cdot q$ = 0. Esto significa que $\boldsymbol{\theta}$ es una cartera de coste cero y es asequible mover el consumo en la dirección $\mathbf{\Delta} = D' \boldsymbol{\theta}$ .
La idea básica es que si $\mathbf{c} = \mathbf{c}^*$ resuelve $\max_{\mathbf{c} \in X} U(c)$ entonces para cualquier cartera de coste cero $\boldsymbol{\theta}$ tenemos que $\alpha = 0$ resuelve $\max_{\alpha \in \mathbb{R}} U\left(c^* + \alpha D' \boldsymbol{\theta} \right) $ . Tome la derivada con respecto a $\alpha$ y se obtiene una condición de optimalidad que nos lleva a un vector de precios del estado.
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