Considere un bono que paga cupones con un vencimiento de $3$ años, que paga el cupón anualmente. Dejemos que $c$ sea el tipo de cupón (porcentaje) y que $F$ sea el valor nominal. Esto significa que el titular del bono recibe $cF$ al final del año $1$ , $cF$ al final del año $2$ y $(cF+F)$ al final del año $3$ . Además, dejemos que $r$ denotan el tipo de interés.
Dejemos que $B_0$ denota el precio del bono al principio del año $1$ y que $B_t$ , $t= 1, 2, 3$ denotan el precio del bono al final del año respectivo. Es bastante habitual fijar el precio del bono tomando la suma de los flujos de caja futuros descontados:
$$ B_0 = \frac{ cF }{ 1 + r } + \frac{ cF }{ { ( 1 + r ) }^2 } + \frac{ cF + F}{ { ( 1 + r ) }^3 }. $$
La fórmula se puede obtener razonando de la siguiente manera:
El flujo de caja $cF$ en el momento $1$ debería valer $cF / (1 + r)$ en el momento $0$ . El flujo de caja $cF$ en el momento $2$ debería valer $cF / { (1 + r) }^2$ en el momento $0$ . El flujo de caja $cF+F$ en el momento $3$ debería valer $(cF + F) / { (1 + r) }^3$ en el momento $0$ La suma de estos tres términos da como resultado la fórmula mencionada.
Sin embargo, parece haber un problema en la construcción de un mercado formal libre de arbitraje, en el que el precio de este bono a veces $t = 1, 2, 3$ vendrá dada por la suma de los flujos de caja futuros descontados. Lo que quiero decir es lo siguiente:
Dejemos que $D_t = (1+r)^t$ , $t = 0, \ldots, 3$ sea el valor de una cuenta bancaria que paga $(1+r)$ para una inversión de $1$ dólar en $1$ año. Este será nuestro numerario. Consideremos ahora un mercado formal compuesto por $B$ y $D$ .
En el momento $0$ :
\begin{align} &B_0 = \frac{ cF }{ 1 + r } + \frac{ cF }{ { ( 1 + r ) }^2 } + \frac{ cF + F }{ { ( 1 + r ) }^3 } \\ &D_0 = 1 \end{align}
En el momento $1$ :
\begin{align} &B_1 = \frac{ cF }{ 1 + r } + \frac{ cF + F }{ { ( 1 + r ) }^2 } \\ &D_1 = 1+r \end{align}
En el momento $2$ :
\begin{align} &B_2 = \frac{ cF + F }{ 1 + r } \\ &D_2 = { ( 1 + r ) }^2 \end{align}
En el momento $3$ :
\begin{align} &B_3 = F \\ &D_3 = { ( 1 + r ) }^3 \end{align}
Ahora, para el no-arbitraje, necesitamos para el proceso de precios $\frac{B_t}{D_t}$ para ser una martingala, o, para decirlo simplemente, debería sostener que
$$ \frac{B_{t+1}}{D_{t+1}} = \frac{B_t}{D_t}, \quad t = 0, 1, 2. $$
Sin embargo, esta ecuación se viola claramente para todos los $t = 0, 1, 2$ . Creo que el problema viene del hecho de que este mercado formal no tiene en cuenta la posibilidad de la reinversión de los pagos de los cupones. En consecuencia, el inversor que posee una unidad de $B$ en el citado mercado y sigue una estrategia de autofinanciación, parece obtener sólo $F$ al final del año $3$ . Sin embargo, podría haber obtenido $cF { ( 1 + r ) }^2 + cF (1+r) + (cF +F)$ reinvirtiendo los flujos de caja en el numerario.
Parece que para el proceso de precios del bono deberíamos considerar más bien $B_t = B_0 { ( 1 + r ) }^t$ , $t = 0, 1, 2, 3$ . En este caso se cumple la propiedad de martingala y el precio del bono refleja naturalmente el valor temporal del dinero. Sin embargo, en un mercado formal de este tipo, aunque se excluya el arbitraje, el precio del bono reflejaría una realidad económica en la que la persona que compra el bono al inversor original en momentos $t = 1, 2, 3$ también tiene derecho a obtener todos los pagos de cupones anteriores con el valor temporal del dinero asociado a ellos.
Me pregunto si alguien podría sugerir un mercado formal en el que el proceso de precios del bono sea coherente con la fórmula convencional de fijación de precios de los bonos y excluya el arbitraje al mismo tiempo.
