EDO de Cauchy-Euler con función indicadora en el coeficiente

Question

Consideremos la siguiente EDO de Cauchy-Euler, que es, en particular, la ecuación de valoración de activos para un bono (con cupón perpetuo y con posibilidad de impago):

$$\frac12 \sigma^2 V^2 F_{vv}(V,t) + \mu V F_{v}(V,t) - r F(V,t) + C = 0$$

donde $k \in \mathbb{R}_+$ y $$r = \begin{cases} r_1 \; \text{ if } \; V > k \\ r_2 \; \text{otherwise} \end{cases}$$

Si $r$ era constante, la solución general tiene la forma $$F(V) = A_0 + A_1 V + A_2 V^{-x}$$ donde $x \equiv \frac{m + \sqrt{m^2 + 2 r \sigma^2}}{\sigma^2}; \; \; m \equiv \mu - \frac{\sigma^2}{2}$ y los coeficientes deben determinarse mediante condiciones de contorno.

¿Es posible derivar una solución general similar para el caso de $r$ ¿arriba? Espero que se pueda resolver por separado la EDO sobre los dos rangos por separado y luego pegar las dos soluciones con una condición sobre la primera derivada. ¿Es correcto este enfoque?

Answer 1

Lo resolví para el caso $\mu = r_1$ la solución en $\mathbb{C}^1$ toma la forma adivinada $$F(V) = \begin{cases} A_0 + A_1 V + A_2 V^{-x} \; \text{ if } \; V>k \\ B_0 + B_1 V + B_2 V^{-y} \; \text{ else } \end{cases}$$ donde las constantes se pueden encontrar introduciendo la conjetura en la EDO y las restantes imponiendo condiciones de contorno y pegando suavemente en la discontinuidad.