Modificación del lema de Hotelling: ¿es válido?

Question

El lema de Hotelling se enuncia como

$$\frac{\partial \pi}{\partial p}=y$$

sabiendo sin embargo que en el nivel más básico, la producción $y$ se determina por la(s) entrada(s) $x(p,w)$ dejemos que la función de beneficio se defina como

$$\pi=py(x(p,w))-wx(p,w)$$

tomando la derivada con respecto a $p$

$$\frac{\partial\pi}{\partial p}=y(x(p,w))+p\frac{\partial y(x(p,w))}{\partial x(p,w)}\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}-w \frac{\partial x(p,w)}{\partial p}$$

¿No sería esta una definición más precisa del lema de Hotelling?

Estoy especulando teniendo en cuenta algunas de las críticas que he leído sobre el lema de Hotelling en trabajos aplicados. A saber: Dualidad, optimización y teoría microeconómica: Escollos para el investigador aplicado

Answer 1

Básicamente vas por el buen camino, pero puede que te hayas dejado llevar por no escribir los argumentos de las funciones. La función de beneficio $\pi$ tiene argumentos $p$ y $w$ no los dejes caer.

En el lema de Hotelling, $y$ es la salida. Por otro lado, se escribe $y$ para la función de producción. Aclaremos las cosas escribiendo de forma neutra $f$ para la función de producción. La elección del insumo que maximiza el beneficio es $x(p,w)$ por lo que la cantidad producida es $f\big(x(p,w)\big)$ el significado correcto de $y$ en el lema de Hotelling.

El lema de Hotelling se convierte entonces en $$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}=f\big(x(p,w)\big).$$ La función de beneficio viene dada por $$\pi(p,w)=pf\big(x(p,w)\big)-wx(p,w).$$

Tomando la derivada con respecto a $p$ nos da $$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}=f\big(x(p,w)\big)+pf'\big(x(p,w)\big)\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}.$$ Esto es más o menos lo que tienes ahí arriba.

Ahora $x(p,w)$ es por definición un maximizador de $pf(x)-wx$ . Tenemos la condición de primer orden $pf'(x^*)=w$ . Por lo tanto, $$pf'\big(x(p,w)\big)-w=0,$$ lo que implica $$pf'\big(x(p,w)\big)\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}=0$$ Esto reduce nuestra expresión para ${\partial \pi(p,w)}/{\partial p}$ al lema de Hotelling.

Esto nos dice también cuál es el mensaje importante del lema de Hotelling: Los efectos indirectos no importan. Un cambio marginal en los precios tiene un efecto directo en los beneficios, ya que la producción se multiplica por un número diferente. También hay un efecto indirecto que proviene de las empresas que ajustan su producción. El lema de Hotelling nos dice que este último efecto es nulo para una empresa que maximiza sus beneficios, que no necesita hacer muchos ajustes. Cuando el beneficio es máximo, el efecto marginal del ajuste de la producción sobre los beneficios es nulo.

Answer 2

Con temas como el lema de Hotelling, la notación precisa es crucial.

La función $\Pi(a,b,c,d)$ se define como $$ \Pi(a,b,c,d) \triangleq a \cdot c - b \cdot d. $$ Ahora bien, si queremos que esta sea la función de beneficio $$ \Pi (p,w,y(p,w),x(p,w)) = p \cdot y(p,w) - w \cdot x(p,w), $$ debemos utilizar la entrada donde $y(p,w)$ y $x(p,w)$ son soluciones del problema de optimización con restricciones $$ \begin{align*} \max_{y,x} \ & p \cdot y - w \cdot x \\ s.t. \ & f(x) = y \end{align*} $$

Hay diferencia entre $$ \frac{\text{d}\Pi (p,w,y(p,w),x(p,w))}{\text{d}p} $$ y $$ \frac{\partial\Pi (p,w,y(p,w),x(p,w))}{\partial p}. $$

Parece que estás haciendo $$ \frac{\text{d}\Pi (p,w,y(p,w),x(p,w))}{\text{d}p} = y(p,w) + p\frac{\partial y(p,w)}{\partial p} -w \frac{\partial x(p,w)}{\partial p} $$ que no es trivialmente lo mismo que $$ \frac{\partial \Pi (p,w,y(p,w),x(p,w))}{\partial p} = y(p,w). $$

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Un ejemplo trivial para ilustrar la diferencia:

Que la función $A(x,y) \triangleq x \cdot y$ medir el área de un rectángulo con lados de la longitud de $x$ y $y$ . Entonces la derivada parcial con respecto a $x$ $$ \frac{\partial A(x,y)}{\partial x} = y $$ mide cuánto aumentaría el tamaño del rectángulo si yo aumentara el tamaño x. Ahora imagina que me interesan los cuadrados específicamente, así que miro los rectángulos donde si un tamaño tiene longitud $x$ la longitud $y$ del otro tamaño es $y(x) = x$ . Entonces la función se convierte en $$ A(x,y(x)) = x \cdot y(x) = x^2. $$ Si ahora considero cuánto aumentaría el tamaño del cuadrado si aumentara sólo un lado, la respuesta sigue siendo $$ \frac{\partial A(x,y(x))}{\partial x} = y(x) = x. $$ (Esta es la definición de las derivadas parciales). Pero si quiero considerar cuánto cambiaría el área del cuadrado si aumentara el parámetro que determina la longitud de ambos lados debería tomar la derivada completa $$ \frac{\text{d} A(x,y(x))}{\text{d} x} = \frac{\text{d} x^2}{\text{d} x} = 2x. $$ Observe que en este caso $$ \frac{\text{d} A(x,y(x))}{\text{d} x} \neq \frac{\partial A(x,y(x))}{\partial x}. $$ El lema de Hotelling te dice que algunos tipos de problemas de optimización con restricciones son mágicos porque allí se cumple esta ecuación.