Transformación de Girsanov cuando el coeficiente de deriva es una función del precio de las acciones

Question

Estoy trabajando en un libro de texto de cálculo estocástico elemental. Tengo problemas con una de las preguntas:

Dinámica del precio de las acciones tipo Bachelier. Sea la SDE para el precio de las acciones $S$ sea dada por $dS(t) = \mu dt + \sigma dB(t)$ , donde $\mu$ y $\sigma$ son constantes. Derivar la EDE para $S$ bajo la cuenta del mercado monetario como el numerario.

Lo interpreto así: quieren $dS^*$ , donde $S^* = S e^{-rt} $ , donde $r$ es el tipo de mercado. Aplicando las reglas habituales para los diferenciales estocásticos llego a:

$dS^* = (\mu e^{-rt} - r S^*) \ dt + \sigma dB $

o

$dS^* = (\mu - r S) e^{-rt} dt + \sigma dB$

A continuación, convertir esto en una martingala por un adecuado transformación de Girsanov, y especificar la expresión de la derivada de Radon-Nikodym.

Aquí no estoy seguro de cómo proceder. Se agradece la ayuda. Lo que he intentado hasta ahora fue definir una nueva Browniana que dependía del precio de las acciones pero eso era inconsistente / no tenía sentido al final.

Lo que he trabajado anteriormente, o bien tenía la comilla en cada plazo (para poder sacarla) o no la tenía. El resto de la pregunta, si ayuda a continuación:

A continuación, derivar la SDE para el precio de las acciones sin descuento y resolver esa SDE. Por último, utilizando este último precio de las acciones, derivar el valor esperado de max[S(T ) K, 0] donde K es una constante.

Answer 1

Te olvidas de la $e^{-rt}$ en la difusión: $$dS^*=-rS^*dt+e^{-rt}dS=(\mu e^{-rt}-rS^*)dt+e^{-rt}\sigma B^\mathbb{P}(t)$$ Utilizando a Girsanov podemos escribir $B^\mathbb{P}(t)=B^\mathbb{Q}(t)+\phi(t)dt$ , donde $\phi(t)$ es el núcleo de Girsanov y el superíndice denota la medida del movimiento browniano. En $\mathbb{Q}$ la dinámica es $$dS^*=(\mu e^{-rt}-rS^*)dt+e^{-rt}\sigma (B^\mathbb{Q}(t)+\phi(t)dt)=e^{-rt}(\mu-rS+\sigma\phi(t))dt+e^{-rt}\sigma B^\mathbb{Q}(t)$$ Sabemos que la deriva debe ser cero para que el proceso de precios descontados sea una martingala bajo $\mathbb{Q}$ , por lo que como $e^{-rt}>0$ $$\mu-rS+\sigma\phi(t)=0\quad\iff\quad \phi(t)=\frac{rS-\mu}{\sigma}$$ Esto depende del propio precio de las acciones, por lo que no es sencillo encontrar la derivada de Radon-Nikodym (como en Black-Scholes, donde el núcleo de Girsanov es constante). $$S(t)=S(0)+\int_0^t dS(u)=S(0)+\mu t+\sigma W(t)$$ Parece que $S$ comienza en 0, ya que no forma parte de la SDE original, por lo que $S(0)=0$ . La derivada de Radon-Nikodym viene dada por $$L(t)=\exp\left(\int_0^t \phi(u)dW(u)-\frac{1}{2}\int_0^t(\phi(u))^2du\right)$$ con $\phi(u)=\frac{r\mu u+r\sigma W(u)-\mu}{\sigma}$ . Sin duda es posible calcular las integrales anteriores, pero será tedioso. Puede que haya una forma fácil de calcular las dos integrales utilizando algún truco, pero la complejidad de la expresión también podría deberse a un error por mi parte :)

La última pregunta puede responderse utilizando la distribución de $S$ en $\mathbb{Q}$ que dependen del núcleo de Girsanov.