No sé por qué estos dos métodos dan soluciones diferentes para el producto marginal del trabajo

Question

Dada una función homogénea de grado uno $$Y=F(K,N) \\ y=\frac{Y}{N} =F(\frac{K}{N},1):=f(k)$$

Estoy buscando la derivada parcial para $N$

Método 1

$$F_N=\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}=\frac{\partial Nf(k)}{\partial N}\\ F_N=f(k)+N\frac{\partial f(k)}{\partial N}\\ F_N=f(k)+N\frac{\partial f(k)}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial N}, \quad k=KN^{-1}\\ F_N=f(k)+Nf'(k)(-1)KN^{-2}\\ F_N=f(k)+f'(k)(-1)KN^{-1}=f(k)-f'(k)k $$

Método 2 $$F_N=\frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial N}\\ F_N=\frac{N\partial f(k)}{N\partial k}\frac{\partial K}{\partial N}\\ F_N=f'(k)\frac{\partial Nk}{\partial N}=f'(k)k $$

No tengo ni idea de dónde está el método 2 que salió mal. Se agradece cualquier ayuda.

Re-editado Resuelto

$$\frac{dF(K,N)}{dN}=\frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{dK}{dN}+\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}\frac{dN}{dN}\\ \frac{dNf(k)}{dN}=f'(k)k+\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}\\ f(k)-f'(k)k=\frac{\partial F(K,N)}{\partial N} $$

Answer 1

No estoy seguro de por qué espera que el método dos funcione, ya que generalmente $$ \frac{\partial F(K,N)}{\partial N} \neq \frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial N}. $$ Estos son parcial derivados. Salvo que exista información en contrario $$\frac{\partial K}{\partial N} = 0.$$

Puedes ver fácilmente que estas fórmulas no están conectadas calculando el área de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes de $a,b$ . Así, $A(a,b) = a\cdot b$ y $$ \frac{\partial A(a,b)}{\partial b} = a \neq b \cdot 0 = \frac{\partial A(a,b)}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial b}. $$ En caso de que se insista en la homogeneidad de grado uno se puede tomar root cuadrada del área.