Demostrar que un modelo es completo pero no está libre de arbitraje

Question

Dejemos que $\mathcal{F}=\{\Omega, \emptyset\}$ sea el trivial $\sigma$ -y considerar el modelo de mercado financiero determinista con tipos de interés cero, $S_{0} \equiv 1$ y $n=1$ activo adicional $S_{1}(t)=100+t$ . Demuestre que este modelo es completo pero no está libre de arbitraje.

Editar: alguien puede indicarme la dirección correcta. Estoy bastante perdido ya que me parece bastante trivial.

Por ejemplo, para demostrar que el modelo no está libre de arbitraje, puedo construir una estrategia de arbitraje como la siguiente:

En el momento t: $\text{buy } K * S_{1}(t) = K * (100+t) \\ \text{cash} = - K * (100+t)$

En el momento T: $\text{sell } K * S_{1}(T) = K * (100+T) \\ \text{cash} = (K * (100+t)) - ( K * (100+t)) > 0 $

De ahí el arbitraje. Pero no estoy seguro de si tengo razón o de cómo demostrar que el modelo es completo.

Answer 1

No hay incertidumbre. Supongamos que en $t=0$ Compro una unidad de activo $1$ y vender $100$ unidades de activo $0$ . Además, en $t=1$ cierro ambas posiciones. En $t=0$ mi pago es $100-100=0$ y en $t=1$ Es decir, es $101-100=1$ . Por lo tanto, existe el arbitraje.

Supongamos que quiero conseguir un pago de $\xi(T)$ en el período $T$ . Puedo obtenerlo, por ejemplo, invirtiendo $\xi$ en el activo $0$ en $t=0$ y venderlo en $t=T$ . Porque $\xi(T)$ es arbitrario el mercado está completo.