¿Por qué podemos escribir cualquier lotería como una combinación convexa de las loterías degeneradas?

Question

Sé que una lotería degenerada es una lotería que da un resultado $n$ con probabilidad $1$ y también conozco la definición de combinación convexa: dado $x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n} \in \mathbb{R}$ una combinación convexa de estos puntos es un punto de la forma $\alpha_{1}x_{1}+...+\alpha_{n}x_{n}$ tal que $\alpha_1+...+\alpha_n=1$ .

Pero estoy muy confundido acerca de por qué podemos escribir cualquier $L=(p_1,...,p_n)$ como una combinación convexa de las loterías degeneradas $(L^1,...,L^n)$ . ¿Puede alguien explicarme esto? Muchas gracias.

Answer 1

Escoge cualquier conjunto de no-negativos $p_1,\dots,p_n$ tal que $p_1+\cdots+p_n=1$ . La combinación convexa de loterías degeneradas $L^1,\dots,L^n$ con el $p_i$ se puede escribir como \begin{align} p_1L^1+\cdots+p_nL^n&=p_1(1,0,\dots,0)+\cdots+p_n(0,\dots,0,1)\\ &=\bigl(p_1(1)+p_2(0)+\cdots+p_n(0),\;\dots,\;p_1(0)+\cdots+p_{n-1}(0)+p_n(1)\bigr)\\ &=(p_1,\dots,p_n). \end{align} Esto es sólo una lotería $L=(p_1,\dots,p_n)$ .