En primer lugar, la volatilidad de su cartera del 0,74% es la varianza, ya que la vol será del 8,6% en relación con su posición en renta variable. Esta es la Caso 2 abajo. Intentaré darte una derivación para la que ojalá puedas encontrar una intuición.
Su cartera se compone de dos activos
- Una cesta/colección de acciones con un precio de mercado $S$ USD por unidad de capital. Supongamos que posee $n_s$ dichas unidades con un valor total de mercado en dólares $V_s = n_s \cdot S = +\$ 20\text{m}$ . Defina la rentabilidad anual por $R_s := \frac{S(t+1\text{Y})}{S(t)}-1$ teniendo stdev $\sigma_s$ .
- Una cesta de futuros con precio $F$ USD por unidad de futuros. Supongamos que posee $n_f$ dichas unidades con un valor total de mercado en dólares de $V_f = n_f \cdot F = -\$ 18\text{m}$ . Defina la rentabilidad anual por $R_f := \frac{F(t+1\text{Y})}{F(t)}-1$ teniendo stdev $\sigma_s$ .
Caso 1: netear los valores $\$ 20\text{m} - \$18\text{m} = \$ 2\text{m}$
El valor de mercado de la cartera (exposición) $V_p$ en el momento (año) $t$ es $$V_p \equiv V_p(t) = V_s(t) + V_f(t) = n_s \cdot S(t) + n_f \cdot F(t) = \$ 20\text{m} - \$18\text{m} = \$ 2\text{m},$$ y estocástico al año $t+1$ , $$\begin{align} V_p(t+1) &= n_s \cdot S(t+1) + n_f \cdot F(t+1) \\ &= n_s \cdot S(t)(1+R_s) + n_f \cdot F(t)(1+ R_f) \\ &= V_s(t)(1+R_s) + V_f(t)(1+R_f). \\ &= \$20\text{m} \cdot (1+R_s) -\$18\text{m} \cdot (1+R_f)\end{align}$$ El cambio estocástico 1Y ( PnL ) en valor de la cartera viene dado por $$ \begin{align} \Delta V_p(t+1) :&= V_p(t+1)-V_p(t) \\ & = V_s(t)R_s + V_f(t)R_f \\ & = \$20\text{m} \cdot R_s -\$18\text{m} \cdot R_f, \end{align}$$ y el 1Y rentabilidad de la cartera $$ \begin{align} R_p = \frac{\Delta V_p(t+1)}{V_p(t)} \end{align} = \frac{V_s}{V_s+V_f}R_s + \frac{V_f}{V_s+V_f}R_f = w_1R_s + w_2R_f, $$ donde $w_1 := V_s/V_p = \$ 20\text{m}/ \$2\text{m} = 10$ y $w_1 + w_2 = 1$ .
En stdev (volatilidad monetaria) del PnL es $$ \begin{align} \mathbb D[\Delta V_p(t+1)] &= \sqrt{(V_s\sigma_s)^2 + 2V_s V_f\sigma_s \sigma_f \rho + (V_f\sigma_f)^2 } \\ &= \sqrt{(20 \cdot 0.15)^2 + 2 \cdot 20\cdot (-18)\cdot 0.15\cdot 0.18\cdot 0.85 + (-18\cdot 0.18)^2} \\ &= \$1.7244\text{m} .\end{align} $$
En stdev (volatilidad) del Rentabilidad de la cartera es $$ \begin{align} \mathbb D[R_p] &= \sqrt{(w_s\sigma_s)^2 + 2w_s w_f\sigma_s \sigma_f \rho + (w_f\sigma_f)^2 } \\ &= \sqrt{(10 \cdot 0.15)^2 + 2 \cdot 10\cdot (-9)\cdot 0.15\cdot 0.18\cdot 0.85 + (-9\cdot 0.18)^2} \\ &= 86.22 \% .\end{align}$$
Por fin, $$ \begin{align} \text{Value-at-Risk}_{5\%} &= \text{portfolio volatility} \cdot \text{Z} \cdot \text{Exposure} \\ &= 86.22\% \cdot \text{Z} \cdot \$2\text{m} \\ &= \$1.7244m \cdot \text{Z} \\ & = \$2.8\text{m}. \end{align} $$
Obsérvese que, en términos porcentuales, la volatilidad de la cartera es grande, pero eso se debe a que está cubierta de tal manera que el red exposición es sólo $\$ 2m$ . la posición de renta variable sin cobertura tiene un VaR de unos 5 millones de dólares. Observe que si utiliza los rendimientos de la cartera, y si su exposición al mercado es cero, acabará dividiendo por cero. Entonces puede utilizar el enfoque "alternativo" de calcular el stdev como unidad monetaria.
Caso 2: sólo fondos propios $\$ 20\text{m}$
Así es como lo hiciste.
Con $w_1 := V_s/V_s = 1$ y $w_2 = V_f/V_s = -18/20$ para que y $w_1 + w_2 \neq 1$ obtenemos
el stdev (volatilidad) relativa al Inversión en capital es $$ \begin{align} \mathbb D[R_p] &= \sqrt{(w_s\sigma_s)^2 + 2w_s w_f\sigma_s \sigma_f \rho + (w_f\sigma_f)^2 } \\ &= \sqrt{(20/20 \cdot 0.15)^2 + 2 \cdot 20/20\cdot (-18/20)\cdot 0.15\cdot 0.18\cdot 0.85 + (-18/20\cdot 0.18)^2} \\ &= 8.62 \% .\end{align}$$
Por fin, $$ \begin{align} \text{Value-at-Risk}_{5\%} &= \text{portfolio volatility} \cdot \text{Z} \cdot \text{Exposure} \\ &= 8.62\% \cdot \text{Z} \cdot \$20\text{m} \\ & = \$2.8\text{m}. \end{align}$$
Caso 3: importe de la inversión
También podemos calcular la rentabilidad en relación con la inversión en efectivo. Por ejemplo, hemos utilizado $\$ 20\text{m}$ para las posiciones de renta variable, y el requisito de margen para las posiciones de futuros de digamos $20\%$ de $\$ 18\text{m}$ . Así pues, las ponderaciones de la cartera se calculan en relación con $\$ 20\text{m} + 20\% \cdot \$18\text{m} = \$ 23,6\text{m}$ .
Conclusión
Siempre que sea coherente con la forma de calcular las ponderaciones de la cartera y la exposición, acabará obteniendo la misma respuesta. Así, si calcula la cartera normalizando con $\$ 20\text{m}$ También es su exposición en el cálculo del VaR.
