Distribución de la rentabilidad de las acciones

Question

Entiendo que los rendimientos de las acciones no se distribuyen normalmente. Sin embargo, ¿hay algún método que nos permita reescalar los rendimientos de las acciones para que se parezcan más a las distribuciones normales?

Me las arreglé para encontrar un documento que habla de esto: L. C. G. Rogers: El sentido, el sinsentido y el S&P500 , Decisiones en Economía y Finanzas (2018) 41:447-461

https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10203-018-0230-3.pdf

donde el autor reescaló los rendimientos del SP500 de la siguiente manera:

Como se puede ver, consiguió escalar los rendimientos en los períodos extremos (por ejemplo, el lunes negro de 1987) para que se parecieran más a las distribuciones normales.

Intenté replicar este método con Python utilizando los mismos parámetros que en el artículo con K = 4, Beta es 0,025. N no se especificó, pero elegí N para ser 100.

SP500['returns'] = np.log(SP500['Adj Close']/SP500['Adj Close'].shift(1))
SP500['returns_sq'] = np.square(SP500['returns'])
SP500.loc[:, 'vol'] = 0
SP500.loc[:,'Vol_rescaled_returns'] = 0
K = 4
Beta = 0.025
SP500.loc[101,'vol'] = np.sqrt(SP500.loc[1:101,'returns_sq'].mean())  

for i in range(101,len(SP500)-1):
  Y = max(-K*SP500.loc[i,'vol'],min(K*SP500.loc[i,'vol'],SP500.loc[i,'returns']))
  SP500.loc[i+1,'vol'] = np.sqrt(Beta*(Y**2) + (1-Beta)*(SP500.loc[i,'vol']**2))
  SP500.loc[i+1,'Vol_rescaled_returns'] = SP500.loc[i+1,'returns'] / SP500.loc[i+1,'vol']

Sin embargo, mi resultado es diferente al del documento, como se muestra a continuación, con rendimientos negativos significativos en el lunes negro en torno a -16, mientras que en el documento es de -6. ¿Hay algo malo en mi código anterior? Lo he comprobado varias veces pero parece bastante sencillo o hay algún problema con este método? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Los rendimientos logarítmicos estandarizados tienen una distribución aproximadamente normal, $\frac{r_t}{\sqrt{\text{RV}_t}}\sim N(0,1)$ .

Como dice @noob2, la heteroscedasticidad es una razón importante por la que los rendimientos (logarítmicos) no se distribuyen normalmente. Si se corrige este hecho (dividiendo por root cuadrada de la varianza realizada, la suma de los rendimientos al cuadrado), los rendimientos se aproximan bastante a la normalidad. En lugar de la varianza realizada, se podría incluso utilizar un modelo GARCH simple si no se quieren utilizar datos de alta frecuencia.

Para ver algunas pruebas empíricas, consulte estos dos documentos:

• Andersen, Bollerslev, Diebold y Ebens (2001, JFE) que estudian los rendimientos de los valores del Dow Jones y
• Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (2001, JASA) que estudian los tipos de cambio.

Del documento del JFE: Usted ve que $r_t$ tiene colas gordas (curtosis alrededor de 5). Después de escalar por la varianza realizada, $r_t/v_t$ la curtosis es mucho más cercana a las tres de una distribución normal. Puedes ver el parecido con la distribución normal en el siguiente gráfico.

Answer 2

Existen varias distribuciones que generalizan la distribución normal con asimetría y curtosis, y se sabe que algunas de ellas modelan el rendimiento de las acciones mejor que una distribución normal.

Por ejemplo, Distribución de Johnson's SU es un buen candidato. Véase el gráfico QQ (Figura 4) en Choi et al. (2019) . Básicamente, la distribución SU es la sinh transformación de la variante normal. Así, la arcsinh transformación (o rescale como tú dices) de la rentabilidad de las acciones sigue muy de cerca una distribución normal.

Referencia:

• Choi, J., Liu, C., & Seo, B. K. (2019). Modelo de volatilidad estocástica normal hiperbólica. Journal of Futures Markets, 39(2), 186-204. https://doi.org/10.1002/fut.21967

Answer 3

Es importante comprender las causas de la no normalidad. En consonancia con el comentario de noob2, podría atribuirse a un cambio de régimen. Estos regímenes causan un exceso de asimetría y curtosis, dos propiedades que son inconsistentes con la normalidad. En este sentido, se puede imponer un modelo estructural a la función generadora de datos. Una posibilidad es una combinación de componentes elípticos y no elípticos. Bajo esta especificación, se puede realizar una descomposición que filtre el componente elíptico de los rendimientos. Todo depende de la aplicación. Por ejemplo, esta papel ilustra esta descomposición para la selección de carteras.