Actualmente estoy aprendiendo la ecuación diferencial parcial Black-Scholes-Merton, y hay algunas confusiones que no puedo resolver.
Bajo la hipótesis de Black-Scholes, tenemos: $$df=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dB_t$$
Construir una cartera: $$\Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S$$ Podemos eliminar la aleatoriedad, así que tenemos: $$\Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t$$
Cualquier activo sin riesgo debe satisfacer $\Delta\Pi=r\Pi\Delta t$ , entonces podemos llegar a la ecuación diferencial.
Mi pregunta es:
- Es S en $\Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t$ ¿es un proceso estocástico? o ¿el precio de las acciones al principio, que es determinista?
- Si S es un proceso estocástico, entonces según la hipótesis del movimiento browniano geométrico, $S=S_0e^{\sigma B_t+(\mu-\frac12\sigma^2)t}$ que contiene $\mu$ como parámetro. Entonces, ¿cómo podemos decir que no depende de $\mu$ y reemplazar $\mu$ con $r^f$ en el mundo del riesgo neutro?