Problemas de comprensión de la fórmula BSM

Question

Actualmente estoy aprendiendo la ecuación diferencial parcial Black-Scholes-Merton, y hay algunas confusiones que no puedo resolver.

Bajo la hipótesis de Black-Scholes, tenemos: $$df=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dB_t$$

Construir una cartera: $$\Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S$$ Podemos eliminar la aleatoriedad, así que tenemos: $$\Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t$$

Cualquier activo sin riesgo debe satisfacer $\Delta\Pi=r\Pi\Delta t$ , entonces podemos llegar a la ecuación diferencial.

Mi pregunta es:

1. Es S en $\Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t$ ¿es un proceso estocástico? o ¿el precio de las acciones al principio, que es determinista?
2. Si S es un proceso estocástico, entonces según la hipótesis del movimiento browniano geométrico, $S=S_0e^{\sigma B_t+(\mu-\frac12\sigma^2)t}$ que contiene $\mu$ como parámetro. Entonces, ¿cómo podemos decir que no depende de $\mu$ y reemplazar $\mu$ con $r^f$ en el mundo del riesgo neutro?

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta, en realidad sí:

$$d\Pi_t=-\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f_t}{\partial S_t^2}\sigma^2S_t^2\right)dt$$

La ecuación representa la evolución de la cartera en un lapso de tiempo infinitesimal $dt$ (es decir, de $t$ a $t+dt$ ). Obsérvese que el término $S_t$ es el precio de las acciones en el momento $t$ por lo que ya se conoce durante el intervalo $[t,t+dt]$ por lo que no es una variable aleatoria sino una cantidad determinista.

En cuanto a tu segunda pregunta, ten en cuenta que la ecuación de Black-Scholes es:

$$\frac{\partial f_t}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f_t}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t+\frac{\partial f_t}{\partial S_t}rS_t=rf_t$$

Según la Fórmula de Feynman-Kac la solución de la EDP anterior es la expectativa descontada de la condición terminal $-$ la condición terminal en este caso es el pago del derivado al vencimiento $f(T,S_T)$ por ejemplo $\max(0,S_T-K)$ para una convocatoria europea $-$ para una medida de probabilidad $Q$ bajo el cual el precio de las acciones sigue la SDE:

$$dS_t=rS_tdt+\sigma S_tdW^Q_t$$

es decir, sustituir $\mu$ por $r$ es un "truco" matemático que proviene de Feynman-Kac. Este conveniente truco $-$ conveniente, ya que permite calcular los precios derivados como expectativas en lugar de soluciones a las EDP $-$ ha sido formalizado y generalizado, por ejemplo por Harrison y Pliska (1981) .