El ACP y la agrupación de riesgos

Question

Tengo una cartera de bonos y he calculado su PV01 por cubo de riesgo. Las categorías relevantes son 1m, 2m,..., 1y, 2y,...30y; un total de 40 categorías.

También he realizado un ACP y he identificado los tres componentes principales. Alguien dijo que es posible transformar los 40 cubos de riesgo a un conjunto más pequeño de cubos de riesgo con perfil de riesgo equivalente utilizando el PCA anterior mediante una simple multiplicación de la matriz.

Sé que es una afirmación muy vaga, pero no puedo entender cómo puede ocurrir esto.

¿Algún consejo o idea?

Gracias de antemano.

Answer 1

Es muy sencillo hacer una transformación matricial, simplemente tienes la estructura:

$$ \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} & m_{15} & m_{16} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} & m_{25} & m_{26} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} & m_{35} & m_{36} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4 \\ s_5 \\ s_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix}$$

donde $s_i$ son sus riesgos iniciales (es decir, los cubos 1m ... 30Y) salvo que en este caso supongamos que son los cubos 5y, 6y, 7y, 8y, 9y, 10y,
y $r_i$ son sus nuevos cubos objetivo (reducidos).

Puedes diseñar la matriz, $M = {m_{ij}}$ En cualquier caso, permítanme sugerir un modelo muy simple al principio:

Interpolación lineal

En este modelo los puntos 5y, 6y, 7y, 8y, 9y, 10y se comprimirán a 5y, 7y y 10y, utilizando la asignación lineal junto a los puntos contiguos. Bajo este modelo tenemos la estructura:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 1 & 0.666 & 0.333 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.333 & 0.666 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4 \\ s_5 \\ s_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix}$$

El ventaja de este modelo es que es estable y transparente.
El desventaja es que puede no reflejar el movimiento idiosincrático de la curva.

PCA

En este modelo, las filas de la matriz son los valores del PC y cada cubo de riesgo representa el riesgo para ese componente.

$$ \begin{bmatrix} ...PC1... \\ ...PC2... \\ ...PC3... \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4 \\ s_5 \\ s_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix}$$

El ventaja de este modelo es que, medido a lo largo del periodo de la muestra histórica, la mayor parte de la varianza del riesgo es captada por los 3 segmentos de riesgo.
El desventaja es que es específico para el periodo histórico muestreado y, por tanto, no es estático ni necesariamente fiable en el futuro, y es muy difícil cubrir una única parcela de riesgo de PC, ya que hay que operar con todos los instrumentos con mucha precisión.

Curva no lineal

Este ha sido siempre mi modelo preferido y ha sido increíblemente fiable y preciso para el comercio. Aquí los valores $m_{ij}$ son funciones de cómo el proceso de construcción de la curva afecta a cada instrumento bajo su esquema de interpolación cuando se ajusta la tasa 5Y 7Y o 10Y. Será una función no lineal.

El ventaja de este modelo es que ofrecerá de forma fiable un método para cubrir con precisión el riesgo con sólo los (menos) buckets de riesgo submuestreados.
El desventaja es que se basa en una construcción de curvas más complicada que se sabe que es fiable y los valores de la matriz deben ser calculados bajo un proceso de bumping/numérico.

Answer 2

Yo solía dirigir un modelo PCA para más de 50 mercados (global cross-asset) que utilizábamos para identificar y cuantificar los factores de riesgo macro, así que sé que se puede hacer. Lo utilizábamos para definir objetivamente "risk-on, risk-off", "the QE monotrade", "dollar-vs-EM&Commodityness", etc.

No soy un experto en bonos/tasas, pero me sorprende que quieras el PCA Pv01 en lugar de, por ejemplo, la forma de la curva (es decir, los niveles) o los movimientos de rendimiento/precio (es decir, los cambios). ¿No es Pv01 una medida de sensibilidad, básicamente ya una función de la duración? No estoy seguro de por qué querría analizar la duración frente a f(duración); pero me gustaría revisar lo que sigue a la luz de una buena razón ;-)

El proceso formalmente es poco más que sacar los vectores propios de la matriz de lo que sea que estés tratando de PCA. Si quiere dar a cada miembro de la muestra la misma influencia en el modelo, debe utilizar la matriz de correlación. Si quiere capturar el máximo ruido posible, utilice la covarianza.

Para calcular las señales de riesgo, el siguiente paso es sumar el producto de la métrica de cada cubo por su respectivo peso PCA (los vectores propios). O, si se utiliza la correlación, la suma (métrica * peso / vol. de la métrica). Ese fue mi "riesgo" multiactivo. En un modelo de curva tradicional, sería la "duración". etc.

Comprobación rápida e importante: ejecute una tabla de correlación de sus señales PCA entre sí. Si no hay 1s en la diagonal y 0 en el resto, algo ha ido mal. Si lo es, pero no tiene ningún sentido, entonces está midiendo con precisión algo diferente de lo que cree o desea medir. Con este perfil de independencia de los factores, es fácil hacer una regresión múltiple ((X'X)-1)(X'Y) de sus valores originales contra sus factores de riesgo, confiando en la ausencia de problemas de multicolinealidad.

Para lo que la mayoría de la gente tiende a utilizar el PCA es para usar la reducción de la dimensionalidad para comparar la muestra amplia contra el "patrón normal" de la muestra, a menudo para resaltar las anomalías. Yo solía saber con precisión cuánto valía un choque de +/-1 sigma a "risk-on" o "liquidity-off" para el S&P, el AUDJPY, los diferenciales HY CDX o la curva alemana 2s10s. O un PCA de tipos clásico podría sugerir un nivel, una inclinación y un vientre contra las alas para la curva. Teniendo en cuenta todo lo demás, el 5y1y, el 3m7y o el 11y2y deberían cotizar a X, Y y Z respectivamente (frente a los valores reales, que es lo que obviamente voy a señalar a mi jefe).

Recapitulando: 1. Piensa cuidadosamente en lo que quieres medir y por qué. Elija entre correlación y covar. 2- calcule los vectores propios. 3- suma de estos * valores (estandarizados si es correl) = valor del factor de riesgo 4- compruebe que son independientes entre sí 5- para cada entrada, valor de regresión frente a los factores de riesgo 6- ahora tiene una descripción optimizada de su amplio universo de entrada basado en tan pocas dimensiones como desee.

Estaré encantado de revisar y explicar si algo no tiene sentido.