En la mayoría de los documentos macroeconómicos se da por sentado que la función de producción agregada es $Y=AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$ y que las condiciones de optimalidad de los insumos determinan las demandas de los mismos: $$ \max_{K,L} AK^{\alpha}L^{1-\alpha}-WL-RK \\ \alpha A K^{\alpha-1}L^{1-\alpha}=R \\ (1-\alpha) A K^{\alpha}L^{-\alpha}=W $$ Sin embargo, parece que la función de beneficio no tiene un máximo global dados los precios de los insumos, por lo que es imposible determinar la elección óptima de los mismos.
De hecho, incluso intentando reducir la dimensionalidad del problema utilizando la condición de tangencia se obtiene $$ K=\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}L \\ \implies Y=A\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}\right)^{\alpha}L\\ \max_{L}\left[A\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}\right)^{\alpha}-\frac{W}{1-\alpha}\right]L $$ que no tiene solución finita si el término entre corchetes es positivo.
¿En qué me equivoco? ¿Por qué estas condiciones son ampliamente utilizadas en macro aunque no parezcan correctas desde el punto de vista matemático?
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¿Dónde está el poder $\alpha$ y $1-\alpha$ en la expresión de $Y=...$ ?
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Perdón por la errata, los he puesto yo.
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El término $L^{1-\alpha}$ falta en la última ecuación.
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No lo es: $AK^{\alpha}L^{1-\alpha}=A\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}L\right)^{\alpha}L^{1-\alpha}=A\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}\right)^{\alpha}L^{\alpha+1-\alpha}=A\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{W}{R}\right)^{\alpha}L$