En una simulación de Monte Carlo, ¿una variante de control de cobertura delta reducirá necesariamente el error estándar más que una variante antitética?

Question

Tengo cuatro simulaciones de Monte Carlo y las enumeraré en orden de mayor a menor error estándar.

• MC simple
• MC con variante de control de cobertura delta
• MC con variante antitética
• MC con variantes antitéticas y delta

Mi libro de texto hace parecer que la cobertura delta debería reducir el SE más que la variante antitética, pero mis resultados siempre muestran lo contrario. Estoy utilizando 300 pasos de tiempo y 100.000 simulaciones.

Si ayuda, mi Black-Scholes $\Delta$ se calcula como

(exp(-div*(M-t))*pnorm((log(St1/K)+(r-div+((sig^2)/2))*(M-t))/(sig*(sqrt(M-t))))

Dónde:

• t = (i-1)*dt
• i es el paso de tiempo

Answer 1

Si su pago es lineal, entonces es un poco difícil ver lo que está pasando, así que vamos a considerar el caso cuadrático. Aquí hay una cuadrática genérica para muestrear, centrada en cero

El muestreo antitético introduce muestras con una media perfectamente igual a cero, lo que efectivamente introduce una simetría bilateral perfecta en todo el problema

En cambio, la cobertura delta eliminará el componente lineal (al igual que el muestreo antitético), pero no obligará a que las muestras tengan una media cero, por lo que cualquier conjunto de muestras tendrá un ligero sesgo.

Por último, cabe destacar que para el muestreo antitético con $N$ muestras originales, hay que calcular $f(x)$ $2N$ veces, en lugar de sólo $N$ tiempos. Para la cobertura delta hay que calcular $\Delta_f(x)$ $N$ veces además de la $N$ cálculos de $f$ .

Podría ser que el coste de la computación $C(\{\Delta_f(x)\}, N)$ es bastante barato o esencialmente gratuito, como cuando se calcula la fórmula de Black-Scholes y se necesita ese componente de todos modos, es decir

$$ C(\{f(x), \Delta_f(x)\}, N) \approx C(\{f(x)\}, N) $$

o puede ser que cueste bastante más, por ejemplo si se utiliza la diferenciación automática en fórmulas complejas

$$ C(\{f(x), \Delta_f(x)\}, N) \gg C(\{f(x)\}, N) $$

Para el muestreo antitético, puede ser que el cálculo de $f(x)$ es tan barato que el principal coste reside en la formación de las muestras pseudoaleatorias o cuasialeatorias para que

$$ C(\{f(x)\}, 2N) \approx C(\{f(x)\}, N) $$

o puede darse el caso de que el coste sea todo en cálculo de $f(x)$ para que

$$ C(\{f(x)\}, 2N) \approx 2 C(\{f(x)\}, N) $$

Por lo tanto, desde el punto de vista de la eficiencia, es difícil decir más sobre si la cobertura antitética o delta logrará la mejor relación coste/error estándar sin conocer los detalles de $f$ .