Feynman Kac y la elección de la medida

Question

Parece que estoy confundido en este tema. Así que escribo mi SDE sin una deriva para hacerlo simple: $$dX_t=dW_t$$ y antes de llegar a las finanzas hay una relación que la solución a $$u_t+0.5u_{xx}-ru=0$$ puede escribirse como una expectativa $$\mathbb{E}[e^{-rT}f(X_T)]$$ en el momento 0. La expectativa se escribe en una medida donde $W_t$ se define.

¡Ahora miramos a las finanzas y decimos que si elegimos un BM bajo la medida RN esta expectativa se parece a la fórmula RN! No cambiamos nada de la EDP, sólo le damos un nombre a una medida. Pero qué pasa si empiezo a elegir $W_t$ en una medida diferente, digamos asociada a un numerario $N_t$ con $dN_t=adt+bdW_t$ ? Entonces obtengo de los argumentos financieros el precio de un derivado $$u(t,x)=\mathbb{E}^N[N(t)/N(T)f(X_T)]$$ Ya no hay descuento, así que ¿puedo seguir aplicando FC y obtener una PDE diferente? ¿Así que la EDP derivada usando la fórmula de Feynman Kac parece diferente para diferentes elecciones de medidas?

Answer 1

1) Feynmann-Kac y Girsanov

En primer lugar, debe recordar que el proceso $X$ es independiente de la medida que se considere.

Ahora consideremos un cambio de medida de ${\mathbb{P}}$ a ${\mathbb{Q}}$ . Supongamos que $\mathbb{E}_t^{\mathbb{P}}[\tfrac{d{\mathbb{Q}}}{d{\mathbb{P}}}] = e^{\theta W_t^P - \frac{1}{2}\theta^2 t}$ para alguna constante $\theta$ . El BM $W^{\mathbb{P}}$ en ${\mathbb{P}}$ ya no es un BM bajo ${\mathbb{Q}}$ . Pero Girsanov nos dice que $dW^{\mathbb{Q}} = dW^{\mathbb{P}} - d\langle W^{\mathbb{P}}_t,\log \mathbb{E}_t^P[\tfrac{d{\mathbb{Q}}}{d{\mathbb{P}}}]\rangle = dW^{\mathbb{P}} - \theta dt$ es un BM bajo ${\mathbb{Q}}$ .

Si se reescribe la SDE de $X$ en términos de este nuevo BM, se ve un término de deriva $d\langle X_t,\log \mathbb{E}_t^{\mathbb{P}}[\tfrac{d{\mathbb{Q}}}{d{\mathbb{P}}}]\rangle$ aparecer. En su caso, esto dice $$ dX_t = \theta dt + dW^{\mathbb{Q}}_t $$ Ahora puedes aplicar Feynman-Kac que te dice $$ u^{\mathbb{Q}}(t,x) := \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[e^{-rT}f(X_T)|X_t = x] $$ va a ser la solución de la EDP $$ v_t + \theta v_x + \frac{1}{2}v_{xx} - rv = 0 $$ Esta es una función diferente porque la expectativa se toma bajo una medida diferente y satisface una EDP diferente a su función original $$ u^{\mathbb{P}}(t,x) = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}_t[e^{-rT}f(X_T)|X_t = x] $$

2) Precios de los derivados y cambio de numerario

Ahora bien, si está considerando $$ u(t,x)=\mathbb{E}^N_t[N(t)/N(T)f(X_T)] $$ Esta función no depende del numerario $N$ que estás usando. En términos financieros, el precio no depende de la moneda o del activo en el que se hace la contabilidad.

En el caso de que $N_t = e^{\int_0^t \beta(X_u)\,du}$ para una función determinista $\beta$ se termina con la función habitual $$ u(t,x)=\mathbb{E}^N[N(t)/N(T)f(X_T)|X_t = x] $$ siendo la solución de $$ u_t + \frac{1}{2}u_xx - \beta(x)u = 0 $$ Pero en general, $N_t$ no está totalmente determinado por $X_t$ y no puedes aplicar FK directamente. Recuerda que FK asume que tienes un proceso markoviano que lo dirige todo. Así que todavía necesitarías alguna suposición como $(X,N)$ siendo markoviana, por ejemplo, y la expectativa condicional debe tomarse con respecto al valor de ambos $X$ y $N$ : $$ u(t,x,n)=\mathbb{E}^N[N(t)/N(T)f(X_T)|N_t=n,X_t = x] $$ sería entonces la solución de una EDP dada por FK.

Espero que esto aclare un poco las cosas.

Answer 2

Hay que separar la teoría matemática de la teoría financiera. La noción de numéraire pertenece específicamente a esta última.

[A] Perspectiva matemática

Se llega a la siguiente PDE (independientemente de cómo se haya hecho) $$ u_t + \mu u_x + \frac{1}{2}\sigma^2 u_{xx} - ru = 0 $$ Feynman-Kac dice entonces que la solución única puede escribirse como $$ u(t,x) = \mathbb{E}^\mathbb{X} \left[e^{-r(T-t)} f(X_T) \vert X_t = x\right] $$ donde $(X_s)_{s \geq t}$ resuelve $\forall s \geq t$ $$ dX_s = \mu dt + \sigma dW_s^\mathbb{X} ,\ \ \ X(t) = x $$ En este caso no se trata de una cuestión numérica. $\mathbb{X}$ es una medida de probabilidad, puede ser cualquier cosa, siempre que $W_s^\mathbb{X}$ es un $\mathbb{X}$ -El movimiento browniano no importa.

[B] Perspectiva financiera

Considere un activo negociado positivo $N_t$ . Las oportunidades de arbitraje quedan excluidas si cualquier estrategia de autofinanciación expresada en términos de $N$ (numéraire) surge como un $\mathbb{N}$ -martingale i.e. $$ \frac{V_t}{N_t} = \mathbb{E}^{\mathbb{N}}\left[ \frac{V_T}{N_T} \vert \mathcal{F}_t \right] $$ ¿Debemos introducir otro numéraire $M$ se mantendría lo siguiente: $$ V_t = N_t \mathbb{E}^{\mathbb{N}}\left[ V_T N_T^{-1} \vert \mathcal{F}_t \right] = M_t \mathbb{E}^{\mathbb{M}}\left[ V_T M_T^{-1} \vert \mathcal{F}_t \right] $$

Implica que si se invierte en el activo $X_t$ es una estrategia de autofinanciación, entonces deberíamos tener que, para cualquier elección de numéraire $N$ : $$ \frac{X_t}{N_t} \text{ is a } \Bbb{N}\text{-martingale} $$

[Ejemplo] A $\to$ B

Considere un vehículo de inversión sin riesgo, con rendimiento $r$ . Sea $S_t$ denotan un activo de riesgo que no paga dividendos con dinámica $$ dS_t = \delta dt + \sigma S_t dW_t^\mathbb{P} \tag{1} $$ Esta será nuestra hipótesis de trabajo. Ahora dejemos que $V_t = V(t,S_t,...)$ denotan un crédito contingente suscrito en $S_t$ que no paga cupones. Considere la estrategia de autofinanciación $\Pi_t$ que consiste en mantener tanto el crédito contingente $V_t$ y una fracción $\alpha_t$ del activo de riesgo $S_t$ : $$ \Pi_t = V_t + \alpha_t S_t $$ Recogiendo $\alpha_t = -\partial V/\partial S$ nos permite "cubrir el delta" de la cartera $\Pi_t$ para que su P&L infinitesimal se lea: \begin{align} d\Pi_t &= dV_t - \alpha_t dS_t \\ &= \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S_t^2 dt \end{align} ya que esta última evolución no depende de la fuente latente de aleatoriedad $dW_t^\mathbb{P}$ la cartera con cobertura delta debería evolucionar al tipo libre de riesgo por ausencia de oportunidad de arbitraje: \begin{align} d\Pi_t &= \Pi_t r dt \\ &= (V_t - \alpha_t S_t) r dt \end{align} de ahí la PDE: $$ \frac{\partial V}{\partial t}+ r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0 $$ con $V(t=T,S_T=S) = f(S)$ por la ausencia de arbitraje, $f(S)$ que denota el pago del siniestro contingente. Feynman-Kac nos dice entonces que la solución se escribe: $$ V_t = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[ e^{-r(T-t)} f(S_T) \vert \mathcal{F}_t \right] \tag{3} $$ donde bajo $\mathbb{Q}$ $$ dS_t = rS_t dt + \sigma S_t dW_t^\mathbb{Q} \tag{2} $$ Ya puedes hacerlo:

• Comparar la dinámica del activo de riesgo $(1)$ y $(2)$ . Obsérvese que hemos partido de algunos supuestos de modelización bajo $\mathbb{P}$ pero vimos que en realidad podíamos expresar el precio utilizando un truco matemático bajo otra medida (similar a lo que ocurre en el marco binomial de la CRR: la probabilidad histórica desaparece de la ecuación de precios)
• Desde $(2)$ vemos que $S_t/B_t$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale, mientras que de $(3)$ vemos que $V_t/B_t$ también es un $\mathbb{Q}$ -martingale. Así, $B_t$ es, en efecto, el numéraire asociado a la medida $\mathbb{Q}$ .

[Ejemplo] B $\to$ A

Ver la aplicación del lema de Itô discutido aquí y las referencias pertinentes en el interior.