Funciones de utilidad Cobb-Douglas y Logaritmo

Question

Supongamos que tengo un consumidor con una función de utilidad $U(x,y) = x^\alpha y ^{1-\alpha} $ donde $a \in (0,1)$ . Supongamos que este consumidor tiene una riqueza $w$ y los precios de $x$ y $y$ son $p_x$ y $p_y$ respectivamente. Ya he establecido las restricciones presupuestarias y he calculado las funciones de demanda y gasto.

Pero ahora me dan otra función de utilidad $\alpha \log x + (1-\alpha) \log y$ . Supuestamente puedo calcular la función de demanda para esto sin necesidad de hacer más cálculos. Sin embargo, no veo cómo. ¿Qué propiedad de los logaritmos es útil aquí? Obviamente conozco la definición de un logaritmo, pero no lo he visto en este contexto y estoy confundido sobre qué tipo de matemáticas debo aplicar para encontrar una función de demanda. ¿Es sólo aritmética? ¿Es cálculo? ¿Qué es lo pertinente aquí para resolver este problema?

Answer 1

Las funciones de utilidad son invariantes con respecto a las transformaciones monotónicas positivas (TMP). Tomemos $U(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}$ y que $V(x,y)=\log(U(x,y))$ sea un PMT de $U$ . Así, $V$ y $U$ ambos representan la misma preferencia, por lo que las funciones de demanda de $x$ y $y$ son los mismos.

Answer 2

Como ya se ha mencionado antes, el resultado de realizar la maximización de la utilidad es invariable bajo transformaciones monótonas en el siguiente sentido. Sea la demanda $x^{*}(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x)$ como en todos los problemas de optimización $x^{*}(p,w)=\arg\max_{x \in B(p,w)}V(u(x))$ donde V es un mapa monótono. Obsérvese que la función de valor que es $u(x^{*}(p,w))\neq V(u(x^{*}(p,w)))$ es diferente en los dos casos, pero normalmente no nos importa este objeto ya que la utilidad sólo tiene información ordinal.