Maximización de la utilidad para una función de utilidad inusual de Leontief

Question

El problema es la maximización de la utilidad básica sujeta a una restricción presupuestaria con $$u(x,y) = min\{x+y,4\sqrt{x},4\sqrt{y}\}$$ $$p_x = 1, p_y = 1, M = 4$$

Primero tendré que trazar las curvas de indiferencia.

Soy capaz de averiguar lo siguiente:

Si $x < y: u(x,y) = min\{x+y, 4\sqrt x\}$ ,
si no $u(x,y) = min\{x+y, 4\sqrt y\}$ .

Pero me quedo atascado aquí. Por ejemplo: si estoy en la región donde $x<y$ No puedo encontrar la subregión donde $x+y < 4 \sqrt x$ o $x+y > 4 \sqrt x$ .

¡Salud!

Answer 1

Arriba se muestra un gráfico de las curvas de indiferencia para $U=1,2,...,8$ y también para $U=8.5$ que hice en MATLAB. Para $P_x=P_y=1$ y $m=4$ la restricción presupuestaria es simplemente la línea $y=4-x$ (no aparece aquí, pero es fácil de visualizar).

Obsérvese que esta restricción presupuestaria se solapa con la $U=4$ curva de indiferencia (cuarto contorno desde el origen) en el segmento de línea que une $(1,3)$ y $(3,1)$ . Cualquier otro punto de la línea presupuestaria daría $U<4$ por lo que se consume en el segmento de línea que une $(1,3)$ y $(3,1)$ es óptima. Pero como todos estos paquetes corresponden a $U=4$ el haz óptimo no es único, sino que podría ser cualquier haz en este segmento de línea.

Aquí está el código MATLAB que generó el gráfico:

u=zeros(60,60);
for i=1:60;
    for j=1:60
        u(i,j)=min([(i+j)/10 4*sqrt(i/10) 4*sqrt(j/10)]);
    end
end
figure
contour(u,[1 2 3 4 5 6 7 8 8.5]);
ylabel('Good Y')
xlabel('Good X')
grid on
grid minor
xt = get(gca, 'XTick');                                 % 'XTick' Values
set(gca, 'XTick', xt, 'XTickLabel', xt/10) 
yt = get(gca, 'YTick');                                 % 'XTick' Values
set(gca, 'YTick', yt, 'YTickLabel', yt/10)