Consideremos la siguiente versión del modelo estocástico de Ak escrito como una ecuación de Bellman: $$v(A,k)=max\ log(c)+\beta E[v(A',k')|A]$$ $$s.t\ k'+c\leq Ak$$ y no negativas. $A$ es un proceso estacionario de Markov de primer orden. $E[\cdot|A]$ denota las expectativas de - condicionadas a $A$ . Suponemos que $\beta\in(0, 1)$ .
Ahora también podemos demostrar que la función de valor $v$ puede expresarse como $$v(A,k)=\frac{log(k)}{1-\beta}+v(A,1).$$
Si denotamos $E[v(A',1)|A]$ como $D(A)$ que es una constante (es decir, sólo es función de los parámetros exógenos del modelo y de la realización del proceso estocástico A, pero no es función de las variables endógenas). Utilice esto y la nueva ecuación para sustituir en el problema de maximización en la ecuación de Bellman. Deberíamos obtener un problema de maximización simple en $c$ y $k$ .
Y lo que la solución se da como $$v(A,k)=max\ log(c)+\frac{\beta}{1-\beta}log(k')+\beta D(A).$$
¿Podría alguien mostrar los pasos detrás de esta derivación
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Hola tengo problemas con la ecuación $v(A, k)=\frac{\log (k)}{1-\beta}+v(A, 1)$ . La respuesta de abajo la toma como dada. ¿Podría mostrar la derivación de la misma? Gracias.
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Estaba revisando mis apuntes y lo que había derivado mi profesor era algo así: Ha considerado $\sigma=1$ por lo que tenemos $u(c)=log c$ . La función de valor es algo así: $V(\lambda k_0, A_0)=\sum\beta_t\sum P(A^t)log(\lambda c_t (A^t))$ o $V(\lambda k_0, A_0)=\sum\beta_t\sum P(A^t)[log\lambda +log(c_t (A^t))$ donde $\sum\beta_t\sum P(A^t)[log\lambda= log\lambda/1-\beta$ y $\sum\beta_t\sum P(A^t)log(c_t (A^t)=V(k_0,A_0)$ así, $v(k,A)=log k/1-\beta+V(1,A)$ . Supongo que una lógica similar @Alalalalaki pero alguien puede añadir algo que puede faltar
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Muchas gracias por su respuesta. Sin embargo, todavía estoy un poco confundido sobre la derivación. En primer lugar, ¿sabe usted por qué es el caso de que $V\left(\lambda k_{0}, A_{0}\right)=\sum \beta_{t} \sum P\left(A^{t}\right) \log \left(\lambda c_{t}\left(A^{t}\right)\right)$ es decir, ¿por qué podemos simplemente escalar la función de consumo en cada periodo cuando tenemos un capital inicial escalado? En segundo lugar, dada su derivación, parece que sólo tenemos $v(k, A)=\log k / 1-\beta+V(1, A)$ cuando $k_0=1$ . ¿Supone usted que $k_0=1$ ? ¿Podemos obtener el mismo resultado si $k_0 \neq1$ ?
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No sé si esta respuesta será útil, pero previamente (antes de pasar a este caso especial) hemos considerado $v(k,A)=max\ c^{1-\sigma}/1-\sigma + \beta k^{1-\sigma}E[v(1,A')|A]$ en función de la restricción. Entonces hemos considerado que la utilidad es homotética en c,k'. En cuanto a la segunda pregunta, supongo que no obtenemos el mismo resultado si $k_0\neq 1$ , tal vez no haya una solución de forma cerrada o algo así.