¿Por qué la economía escapa a los teoremas de Godel?

Question

He visto a muchos profesores decir que los teoremas de incompletitud de Godel no se aplican a la economía. Por supuesto, he visto a otros como Yanis Varoufakis, que ha dejado constancia de que muchos trabajos de economía desafían los principios básicos de la lógica, mientras que también dice que los trabajos empíricos pueden llegar a la conclusión completamente opuesta con los mismos datos; tanto un mayor como un menor poder de negociación de los sindicatos pueden alcanzar el mismo equilibrio de mejores beneficios.

Si miras el teorema de incompletitud de Godel...

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-080-great-ideas-in-theoretical-computer-science-spring-2008/lecture-notes/lec6.pdf

"Para cualquier sistema formal fijo de lógica F, si el sistema es sólido y computable, entonces existen afirmaciones verdaderas sobre los números enteros que no son demostrables dentro del sistema F".

1. ¿Es la economía un "sistema formal de lógica"? Si no es así, ¿está bien utilizar un razonamiento ilógico en economía? Incluso si aceptamos que algunos razonamientos pueden ser intuitivos, ¿no son las matemáticas subyacentes a gran parte de la teoría económica susceptibles, como sistema formal de lógica, del teorema de incompletitud de Godel? Si las matemáticas son incompletas, entonces cualquier teoría económica que tenga la pretensión de rigor basada en las matemáticas, no puede soportar la prueba de los teoremas de Godel.

2. Si la economía es un sistema formal de lógica, entonces ¿es sólido y computable? Supongo que todas las formulaciones matemáticas de la optimización restringida, la estática comparativa y el análisis causal en econometría son un sistema "sólido y computable" de matemáticas aplicadas, en cuyo caso se esfuerza por ser un "sistema formal de lógica que es sólido y computable". Si no es así, su esfuerzo por ser un campo de este tipo es contraintuitivo o incluso contraproducente en cierto sentido.

3. Si la economía es formal pero no es un sistema, ¿qué es entonces? ¿Es un conjunto de teorías que compiten entre sí y que son a su vez sistemas? Si no es así, ¿alberga en cada teorema o principio una especie de incompletitud en la que podemos relajar el requisito de que un conjunto de teorías funcione como un sistema coherente?

¿Tiene sentido lo que digo?

Answer 1

Los teoremas de Godel se refieren a enunciados autorreferentes de la forma "Este enunciado es indemostrable por X", donde 'X' es algún sistema o mecanismo para demostrar cosas. X" suele ser un sistema de lógica definido, un conjunto de axiomas y reglas de demostración, pero no tiene por qué serlo.

La idea básica es que si el enunciado es demostrable por X, entonces X puede demostrar enunciados que son falsos, por lo que X es inconsistente. Si X es consistente (sólo prueba enunciados verdaderos) entonces el enunciado es indemostrable por X, y por tanto verdadero. El logro de Godel fue codificar tanto el enunciado como el sistema de demostración utilizando únicamente los métodos de la aritmética básica aplicados a los números enteros positivos, mostrando así (a grandes rasgos) que no toda propiedad aritmética verdadera de los números enteros puede ser demostrada.

Tomado literalmente, obviamente no se aplica a otros sistemas como la economía porque la economía no es aritmética. (Aunque podría decirse que la economía contiene aritmética...) Pero podemos hablar de un enunciado en el mismo espíritu como los teoremas de Godel preguntando si "Esta afirmación no se puede demostrar en economía" es cierta o no?

Si la economía pudiera demostrarlo, la economía habría demostrado algo que es falso, por lo que sería incoherente. Si la economía no puede demostrar la afirmación, entonces la afirmación es verdadera.

Se pueden tener varias opiniones al respecto. Algunos dirían que la economía es incoherente ("los trabajos empíricos pueden llegar a la conclusión completamente opuesta con los mismos datos"). Algunos dirían que es incapaz de aportar pruebas, sólo de justificar inductivamente el aumento o la disminución de las creencias. Algunos se preguntarían " Qué versión ¿De qué "economía" estás hablando?", porque hay muchas. Reúne a tres economistas cualesquiera y obtendrás cuatro opiniones diferentes. Y por supuesto, algunos dirían "Claro, pero eso no es realmente el teorema de Godel".

Lo que yo no pensar que alguien podría argumentar es decir que la economía es a la vez consistente (sólo demuestra cosas verdaderas) y puede demostrar que la afirmación anterior no se puede demostrar. Los economistas no son que ¡loco! Así que, en este sentido, mi opinión es que el teorema de Godel también se aplica con la misma fuerza a la economía. Sin embargo, no tiene la misma importancia, porque nadie creyó nunca que la economía fuera completa y consistente, mientras que lotes ¡de la gente tenía esa creencia sobre las matemáticas!

Answer 2

Yo diría que estás identificando un gran problema en la epistemología aplicada en general, a saber, que la comunicación entre dominios y la transferencia de conocimientos puede ser muy difícil, es decir, que preguntar a los formados en economía sobre la aplicabilidad de una prueba matemática a su dominio es probable que produzca respuestas insatisfactorias en el mismo grado que, digamos, preguntar a los neurólogos sobre el impacto de algún aspecto de la física cuántica es aplicable a su comprensión de los procesos neurológicos.

A veces, lo que es aún más preocupante, los conceptos pueden haber sido considerados de forma independiente en dos campos y, aunque discutan conceptualmente las mismas cuestiones, pueden utilizar vocabularios totalmente diferentes para describir este mismo concepto. Esto ocurre incluso entre campos de estudio comparativamente muy relacionados, como la ingeniería eléctrica y la mecánica. Un ejemplo concreto es el de la teoría de control, que abarca estos dos campos y que, por diversas razones históricas, ha tomado a veces caminos curiosamente divergentes.

Esto no quiere decir que las conexiones no existan, pero las respuestas que hacen que estas preguntas sean interesantes no son fáciles de obtener, ya que los conceptos de cada campo pueden requerir un estudio significativo dentro de los respectivos campos para dominarlos y apreciarlos realmente, lo que limita el tiempo disponible para que los expertos de cualquiera de los campos puedan descubrir realmente las ideas de los campos fuera de los suyos, incluso si hay una superposición considerable, y no para traducir de manera significativa entre los vocabularios para comprometerse con aquellos fuera de su campo.

¿Existe una conexión entre la amplia clase de ideas relacionadas representadas por teoremas de incompletitud de Gödel, el teorema de indefinición de Tarski, la respuesta de Church al Entscheidungsproblem de Hilbert y, por último y quizás más famoso, el Problema de la Parada, y más ampliamente toda la epistemología humana? No puedo afirmar que sea un experto en ninguna de estas pruebas específicas, pero tengo que decir que, al menos para mí, hay un sentido intuitivo en el que esta conexión es inevitable. Parecen apuntar a algunos límites significativos de lo que se puede y no se puede saber y de lo que significa saber algo en absoluto. ¿Es posible que algunos grupos exageren la conexión y la exageren un poco? Una vez más, creo que la respuesta es afirmativa, pero creo que la vacilación resultante en campos ajenos a los que originaron estas pruebas para investigar sus consecuencias en sus propios campos también es un error, ya que se trata de descubrimientos extremadamente significativos y rigurosos.

Si los sistemas altamente simplificados y formales están plagados de contradicciones inherentes, y de límites computacionales, entonces no es un buen augurio para sistemas de conocimiento más grandes y complejos. A veces, los profesionales que no están familiarizados con estas pruebas se defienden de esta cuestión cuando se exponen por primera vez a estas ideas afirmando que estas deficiencias teóricas no se traducen en ninguna limitación en la práctica, pero yo diría que, como mínimo, la informática refuta firmemente esta proposición, ya que las implicaciones del problema de detención y de otros problemas de computabilidad son rápida y trivialmente prácticas, sin olvidar las enormes consecuencias económicas.

En cuanto a cómo se han abordado estas ideas dentro de la economía, creo que hay algunas similitudes entre la clase de pruebas enumeradas anteriormente y el problema de cálculo económico de Mises-Hayek, aunque no estoy familiarizado con ningún intento riguroso de conectar estas ideas a pesar de sus similitudes pasajeras que, como mencioné inicialmente, parecen estar relacionadas con las dificultades encontradas en el intercambio de conocimientos entre dominios.

Por lo tanto, diría que cualquier intento de rechazar el impacto de esta clase de pruebas en otros campos está terriblemente equivocado y huele a importantes dosis de ignorancia, pero esto debe sopesarse con la realidad de que en muchos campos prácticos la capacidad de progresar positivamente no se ve impedida por su aplicabilidad.

El hecho de no saber y, lo que es más importante, de no poder saber nunca, no significa que no se pueda alcanzar un valor y un progreso significativos. Al fin y al cabo, no estamos comparando la corrección y consistencia de nuestros sistemas de conocimiento con algún sistema creado por algún oráculo perfecto en algún lugar, sino simplemente con los creados por otros seres humanos igualmente limitados por las implicaciones de estas teorías.