Encontrar las soluciones de la EDO a partir de la EDE

Question

Considere la SDE $$dS_t = rS_t dt + \sigma S_t dB_t \ \ \ \text{where} \ r \ \text{and} \ \sigma \ \text{are constants}$$

a.) Encuentra la EDO de la función $V(x)$ tal que $e^{-rt}V(S_t)$ es la martingala.

b.) Encuentra todas las soluciones de la EDO en (a).

Intento de solución para a.) $V(t,S_t)$ es martingala si y sólo si $V(t,x)$ satisface $$\partial_t V(t,x) + \partial_x V(t,x)\mu(t,x) + \frac{1}{2}\partial_{xx}V(t,x)\sigma^2(t,x) = 0$$ por lo que se establece $V(t,x) = V(x)e^{-rt}$ en la ecuación anterior, tenemos entonces $$V(x)\partial_t e^{-rt} + e^{-rt}\partial_x V(x)\mu + {\color{red}{\frac{1}{2}}} e^{-rt}\partial_{xx}V(x)\sigma^2 = 0$$ donde $\mu = r S_t$ y $\sigma = \sigma S_t$ . Por lo tanto, la EDO para la función $V(x)$ es $$-rV(x)e^{-rt} + re^{-rt}S_t\frac{d V}{dx} + {\color{red}{\frac{1}{2}}}\sigma^2e^{-rt}S_t^2\frac{d^2 V}{dx^2} = 0$$

Solución intentada para b.) Tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficiente constante de la forma $$aV^{''} + bV' + cV = 0$$ donde $a = \sigma^2 S_t^{2}$ , $b = rS_t$ y $c = -r$ . Así, la solución de esta oda es $$V = \begin{cases} Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}, & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has distinct real roots}\\ e^{ax}( C cos(\beta x) + Dsin(\beta x), & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has roots equal to} \alpha\pm \beta i \\ (Ax + B)e^{mx}, & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has 1 repeated root} \end{cases}$$

No estoy seguro de que esto sea correcto, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Sólo consideraré (b). De la parte (a), la EDO es de la forma $$\begin{align*} -r V(x) +rx\frac{dV(x)}{dx} + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 \frac{d^2V(x)}{dx^2} = 0.\tag{1} \end{align*}$$ Dejemos que $x=e^y$ . Entonces, $$\begin{align*} \frac{dV(x)}{dx} &= \frac{dV(e^y)}{dy}\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{1}{x}\frac{dV(e^y)}{dy},\\ \frac{d^2V(x)}{dx^2} &= -\frac{1}{x^2}\frac{dV(e^y)}{dy} + \frac{d^2V(e^y)}{dy^2}\frac{1}{x^2}. \end{align*}$$ Además, la ecuación (1) es ahora de la forma $$\begin{align*} -r V(e^y) +\Big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\Big)\frac{dV(e^y)}{dy} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{d^2V(e^y)}{dy^2} = 0.\tag{2} \end{align*}$$ La técnica que has mostrado en tu pregunta puede utilizarse ahora para resolver esta ecuación. Específicamente, $$\begin{align*} V(e^y)= Ae^{y}+Be^{-\frac{2r}{\sigma^2} y}. \end{align*}$$ Eso es, $$\begin{align*} V(x)= Ax+Bx^{-\frac{2r}{\sigma^2}}, \end{align*}$$ donde $A$ y $B$ son constantes.