Ejemplos de curvas de demanda acotadas, positivas e inversas

Question

Los tres ejemplos más comunes de curvas de demanda que conozco son

$$\begin{align} Q&= b - aP,\\ Q&= bP^a,\\ Q&= b e^{-aP}\\ \end{align}$$

La primera es nuestra curva de demanda lineal clásica, la segunda es la que corresponde a una elasticidad constante y fija, $a$ y, por último, la curva de demanda exponencial, algo menos común pero aún útil. Pero todas estas curvas, para mí, dejan una característica peculiar de sus inversas

$$\begin{align} P&= b/a - Q/a,\\ P&= (Q/b)^{1/a},\\ P&= -\frac{1}{a}\log{\left(\frac{Q}{b}\right)}\\ \end{align}$$

Para la curva de demanda lineal, el precio es negativo, ya que la cantidad producida es elevada. Esto es concebible para algunos productos, en los que podría ser costoso almacenar el exceso, pero es fácil imaginar productos en los que los precios negativos son imposibles. La curva de demanda de elasticidad fija resuelve esto, pero tiene otra propiedad indeseable, en mi opinión. El precio llega al infinito cuando la cantidad producida llega a cero [y, al menos en algunos casos, los precios infinitos no son plausibles en el mundo real, ya que estamos limitados por recursos finitos]. La última opción, la curva de demanda exponencial, adolece de ambos problemas.

Si quiero que el precio esté acotado y sea positivo sobre el dominio de todas las cantidades positivas, podría empezar por definir, las funciones inversas de demanda

$$\begin{align} P&= \frac{b}{1+aQ},\\ P&= be^{-aQ},\\ \end{align}$$

En esta parametrización, $b$ es el precio máximo que cualquier persona estaría dispuesta a pagar por el producto, independientemente de su rareza, y $a$ gobierna la tasa de disminución del precio a medida que la cantidad se vuelve menos rara. Estas curvas de precios darían lugar a curvas de demanda de la forma

$$\begin{align} Q&= \left(\frac{b}{P}-1\right)\frac{1}{a},\\ Q&= -\frac{1}{a}\log{\left(\frac{P}{b}\right)},\\ \end{align}$$

¿Alguien conoce las curvas de demanda utilizadas en la literatura como esta? Supongo que debe haber alguien, con algún propósito, que haya requerido una curva de demanda con tales propiedades. Estoy pensando en casos en los que, debido a una externalidad, las cantidades pueden ser llevadas repentinamente a cero o a valores muy grandes. ¿Qué curvas de demanda utiliza la gente en estos casos? ¿Alguien utiliza alguna de las dos anteriores?

Answer 1

Puede encontrar funciones de demanda como ésta en los problemas de los libros de texto y de los exámenes. Un ejemplo al azar de internet :

$$Q = \ln 4 - 0.5 \ln P$$

que no es más que un caso especial de $Q=−1/a \ln (P/b)$ donde a es 1 y b también es 1 y hay alguna constante adicional $\ln 4$ . Acabamos de tener un examen en el que también he visto uno de los otros ejemplos. Si no recuerdo mal era $Q = \frac{100}{P}-1$ . También recuerdo haber visto más de ellos en los libros de texto, pero tardaría una eternidad en encontrarlos en un grueso libro lleno de problemas de matemáticas.