Elasticidad cuando la función de demanda está dada

Question

Dada la función de demanda, $ q = kp^{-\epsilon} $ ¿Cómo se calcula la elasticidad? Como resultado, sé que la elasticidad cuando la función de demanda tiene esta forma es $ - \epsilon $ . Pero me gustaría saber cómo. También encontré una derivación en línea que procedía así:

(1) Toma el logaritmo en ambos lados (2) Diferencia ambos lados (3) Obtendrás $$ \frac {\text{d} \ln(q)}{\text{d} \ln (p)} = - \epsilon $$ (4) El lado izquierdo de la ecuación anterior es simplemente la elasticidad.

¿Cómo es que $$ \frac {\text{d} \ln(q)}{\text{d} \ln (p)} $$ ¿representan la elasticidad?

Answer 1

La definición de elasticidad de la demanda con respecto al precio es: $\varepsilon_{q,p} = \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q}$ . Así que en su función de demanda tenemos:

$$q = kp^{-\epsilon}$$ $$\frac{dq}{dp} = -\epsilon kp^{-\epsilon - 1}$$ $$\varepsilon_{q,p} = \frac{dq}{dp}\cdot \frac{p}{q} = -\epsilon kp^{-\epsilon - 1} \cdot \frac{p}{kp^{-\epsilon}} = -\epsilon$$

Y tenemos la respuesta que buscas.

Answer 2

Supongamos que tenemos la función $y=ln(x)$ Toma la derivada de primer orden: $$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}$$ Multiplica ambos lados por $dx$ : $$dy=\frac{dx}{x} $$ En palabras: un cambio en el logaritmo natural debido a un pequeño cambio infinitesimal en $x$ es igual al cambio relativo en $x$ debido a un cambio infinitesimal en $x$ En su ejemplo, esto significa que $dln(q)=\frac{dq}{q}$ Esto es exactamente lo que le interesa, es decir, el cambio relativo en $q$ . Así que, efectivamente $\frac{dln(q)}{dln(p)} \approx \frac{\Delta q/q}{\Delta p/p} $