Propiedades del GBM integrado

Question

(Pregunté esta pregunta en MSE pero creo que puede tener más éxito aquí)

Buen día,

Estaba repasando algunos ejercicios y me topé con una pregunta que, para su solución, requiere que encuentre/simplifique $$ \tilde{\Bbb{E}}[S_T|\mathcal{F}_t] $$ en términos de $S_t$ donde $$ S_t=S_0Y_t+Y_t\int^t_0\frac{a}{Y_s}ds $$ $$ dY_t=rY_tdt+\sigma Y_td\tilde{W}_t$$ $$ \ Y_t=exp \left( \sigma\tilde{W}_t+(r-0.5\sigma^2)t \right) $$ $$ dS_t=rS_tdt+\sigma S_t d\tilde{W}_t +adt$$

$\tilde{\Bbb{P}}$ es la medida neutral al riesgo.

$Y_t$ es un GBM y por lo tanto creo que el primer término es fácil de tratar, pero el segundo con la integral es un poco un misterio para mí. ¿Tengo que llevar $Y_T$ dentro de la integral y jugar con la forma exponencial del GBM? Cualquier ayuda sería apreciada.

En esencia, ¿cómo encuentro lo siguiente? $$ \tilde{\Bbb{E}}[Y_T\int^T_0\frac{a}{Y_s}ds|\mathcal{F}_t] $$

Answer 1

Deja $$Z_t=Y_t\int_0^t\frac{a}{Y_s}ds$$ Entonces $Z_0=0$.
Diferenciamos $Z_t$ y obtenemos $$dZ_t=\int_0^t\frac{a}{Y_s}dsdY_t+Y_t\frac{a}{Y_t}dt=\int_0^t\frac{a}{Y_s}ds(rY_tdt+\sigma Y_td\tilde{W_t})+adt$$ $$=rY_t\int_0^t\frac{a}{Y_s}dsdt+\sigma Y_t\int_0^t\frac{a}{Y_s}dsd\tilde{W_t}+adt$$ Entonces $$dZ_t=rZ_tdt+\sigma Z_td\tilde{W_t}+adt$$ Tenemos $$d(e^{-rt}Z_t)=e^{-rt}(\sigma Z_td\tilde{W_t}+adt)$$ Así, $$e^{-rt}Z_t=\int_0^te^{-rs}\sigma Z_sd\tilde{W_s}+a\int_0^te^{-rs}ds$$ $$=\int_0^te^{-rs}\sigma Z_sd\tilde{W_t}-\frac{a}{r}(e^{-rt}-1)$$ Entonces $$Z_T=e^{rT}\int_0^Te^{-rs}\sigma Z_sd\tilde{W_s}-\frac{a}{r}(1-e^{rT})$$ y podemos expresar la expectativa deseada con cantidades conocidas en el tiempo $t$ $$\mathbb{E}_t[Z_T]=e^{rT}\int_0^te^{-rs}\sigma Z_sd\tilde{W_s}-\frac{a}{r}(1-e^{rT})$$