He estado trabajando la tarde en un ejercicio intertemporal en el que me bloqueo en algo muy básico. He estado buscando en posts anteriores pero no he encontrado una pregunta similar.
Tenemos la función de utilidad del hogar : $ U(C_1,C_2,n_2)= \log(c_1) + \beta \log(c_2) - \beta n_2 $
Tenemos una asignación $ \bar y $ para el periodo 1 y ninguno para el periodo 2, el hogar sólo puede trabajar en el periodo 2.
Aquí está la restricción presupuestaria : $ c_1 p_1 + c_2 p_2 = p_1 ( \bar y - x ) + qx + wn_2 + \pi $
Y la función de producción de la empresa : $ f(k) = k^\alpha n_2^{1-\alpha} $
Lo que he hecho hasta ahora es sustituir $ c_2 $ en la función de utilidad para que dependa de $c_1$ , $ n_2$ y $ x $ sólo. Luego lo derivo para cada variable y puedo obtener la condición óptima de consumo : $ \frac{c_2}{c_1} = \beta \frac{p_1}{p_2} $ , las otras derivadas me dan : $ w = p_2 c_2 $ y $ q = p_1 $ . Al sustituir $c_2$ en la restricción presupuestaria, puedo determinar $ c_1$ y luego $c_2$ y x viene dada por la condición de compensación del mercado $ \bar y = c_1 + x $ .
Pero no puedo encontrar la forma de determinar $n_2$ ...suele estar en un logaritmo para que podamos encontrarlo en nuestras condiciones de primer orden...
Editar : $ x $ es la cantidad de capital aportada a la empresa por el hogar, por lo que tendríamos $ x=k $ en el mercado de capitales
$ q $ es el precio del capital por unidad
$ \pi $ es el beneficio de la empresa, es decir $ \pi(k,n_2) = p_2 k^\alpha n_2^{1-\alpha} - kq - wn_2 $
Editar 2 : Releyendo mi pregunta, me doy cuenta de que debería precisar : El hogar sólo puede consumir la producción de la empresa en el período 2, por lo que contribuye al capital y al trabajo de la empresa, obteniendo salarios y beneficios. Por lo tanto, también deberíamos tener $ f(k,n_2) = c_2 $ Creo que
Edición 3 : Mi maximización de beneficios me da : $ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 w = k q $
Editar 4 después de la recomendación de @X : Así que hago la lagrangiana y las derivadas, lo que me da :
$ \frac{1}{c_1} = \lambda p_1 $
$ \frac{\beta}{c_2} = \lambda p_2 $
$ \beta = \lambda w $
$ p_1 = q $
Después de computar, me parece que : $ c_1 = \frac{p_1 \bar y + w n_2 - \pi}{p_1(1+\beta)} $ y $ x = k = \bar y - c_1 = \frac{\beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi}{p_1(1+\beta)} $
Pero sigo teniendo problemas con respecto a mi problema original, $ n_2 $ : Lo hice, de acuerdo con sus consejos: $ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 w = k q $
$ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 \frac{\beta}{\lambda} = \frac{\beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi}{p_1(1+\beta)} p_1 $
$ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 \beta p_1 c_1 = \frac{\beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi}{(1+\beta)} $
$ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 \frac{\beta}{1+\beta}(p_1 \bar y + w n_2 - \pi) = \frac{\beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi}{(1+\beta)} $
$ \frac{\alpha}{1-\alpha} n_2 \beta(p_1 \bar y + w n_2 - \pi) = \beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi $
$ n_2 \beta(p_1 \bar y + w n_2 - \pi) = \frac{1-\alpha}{\alpha} \frac{\beta p_1 \bar y - w n_2 + \pi}{\beta(p_1 \bar y + w n_2 - \pi)} $
Todavía bastante estúpido como resultados ... También he utilizado la forma de planificador central y encontró $ n_2 = 1 - \alpha $ , lo cual es raro.. Todavía me gustaría ir al final de este camino si alguien tiene una idea.
¿Alguna idea? Gracias.
