¿Cuál es el principio para determinar un precio de opción arbitrario

Question

Primero quiero hablar de una de mis formas erróneas de valorar una opción de compra europea. Cuando considero el caso más simple de opción de compra europea, la primera idea para determinar el precio es calcular la media probabilística de la salida en el punto de tiempo final, $\displaystyle\int_{\omega\in\Omega}(S(\omega,T)-K)^{+}p(\omega)d\omega$ y lo retrotrae al punto de tiempo actual multiplicando el valor medio por $e^{-r(T-t)}$ , donde $r$ Por supuesto, es el tipo de interés estable y constante de un mercado monetario. Sin embargo, a medida que sigo aprendiendo este tema, he encontrado el fallo lógico de esta definición. Aunque no hay duda de que $\displaystyle\int_{\omega\in\Omega}(S(\omega,T)-K)^{+}p(\omega)d\omega$ es el precio medio correcto de la opción de compra en términos de dinero en el momento $T$ no hay ninguna razón natural para creer que $e^{-r(T-t)}$ es la relación correcta entre el dinero en el momento $T$ y el dinero en el momento $t$ .

En el ejemplo anterior, la salida $(S(\omega, T)-K)^{+}$ sólo depende del precio final de las acciones. Y hay opciones de que la salida dependa realmente de más información de $\omega$ Por ejemplo, la opción exótica. Así que lo que quiero saber es que, ¿cuál es el eventual / más fundamental de determinar el precio de una opción de compra? Supongo que se puede referir inmediatamente a la "ausencia de arbitraje", o a algunas herramientas técnicas como la "medida de neutralidad del riesgo". Pero "libre de arbitraje" parece más bien un principio filosófico. Lo que realmente quiero investigar es la idea que hay detrás de la "medida de neutralidad del riesgo", o la idea original de cómo describir "libre de arbitraje" en términos de lenguaje matemático. En otras palabras, ¿cómo debería uno empezar a considerar, por sí mismo, el problema matemático de la fijación de precios de las opciones, antes de que se desarrollara cualquiera de esas ideas/herramientas?

Answer 1

Usted argumenta que la opción arriesgada y, por lo tanto, su resultado esperado debe ser descontado a una tasa ajustada al riesgo por un agente averso al riesgo. Yo incluso daría un paso atrás. Usted dice que

\begin{equation} \int_{\omega \in \Omega} (S(\omega, T) - K)^+ p(\omega)\mathrm{d}\omega \end{equation}

es el precio medio "correcto" de la opción de compra. ¿Qué tasa de crecimiento está utilizando para el activo subyacente, que a su vez también es arriesgado?

Estas eran exactamente las cuestiones abiertas en la valoración de opciones antes de Black-Scholes. El concepto de precios de las acciones con distribución logarítmica normal no era nuevo y ya se habían obtenido ecuaciones estructuralmente similares para las opciones de compra europeas plain vanilla. Se puede encontrar un relato muy bueno aquí . El principal problema antes de Black-Scholes era que tanto la tasa de crecimiento adecuada para el activo subyacente como la tasa de descuento utilizada para la opción eran inobservables y dependían de la utilidad.

El concepto de precios estatales ya existía antes, pero el problema era que $n$ estados terminales requeridos $n$ activos linealmente independientes para completar el mercado y obtener precios de arbitraje para los créditos contingentes. La idea de Black y Scholes era que un mercado podía completarse dinámicamente mediante la negociación continua. Es decir, aunque haya un número infinito de estados terminales, dos activos son suficientes cuando el activo de riesgo se mueve sólo por una difusión.

Tanto la fijación de precios estatales como la de Black Scholes se basan en gran medida en el concepto de arbitraje o en la ausencia del mismo. No voy a morder el anzuelo y explicar por qué esto no es una "filosofía" como usted afirma. Sin embargo, le sugiero que lea sobre el tema para mejorar su comprensión. Aquí hay algunas buenas referencias:

• Pennachi (2008) es una buena introducción general a la teoría de los precios de los activos. Véase, en particular, el capítulo 4, "Consumo-ahorro y valoración del estado", y el capítulo 9, "Cobertura dinámica y valoración de la EDP".

• Musiela y Rutkowski (2005) es un excelente resumen de la fijación de precios de los derivados en un contexto de difusión. Véase, en particular, el capítulo 3, "Modelos de referencia en tiempo continuo".

Referencias

Musiela, Mark y Marek Rutkowski (2005) "Martingale Methods in Financial Modelling", Springer, 2ª edición

Pennachi, George G. (2008) "Theory of Asset Pricing", Pearson