La utilidad marginal decreciente es una cardenal propiedad. En otras palabras: no es invariable a transformaciones monotónicas arbitrarias. Esto indica que no puede asociarse a ninguna restricción sobre las preferencias (es decir, sobre una relación binaria sobre el consumo), ya que las restricciones sobre las preferencias son por naturaleza ordinal .
Para ver esto, considere las preferencias definidas sobre $\mathbb{R}_{++}$ , tal vez pensados como resultados monetarios. Si tomamos $x \succeq y$ si y sólo si $x \geq y$ tenemos una preferencia convexa. Obsérvese que tanto $U(x) = ln(x)$ y $U(x) = e^x$ representan nuestra preferencia. Ambas son funciones casi cóncavas, aunque sólo $ln(x)$ también es cóncava.
Si está dispuesto a aceptar restricciones funcionales adicionales en $U$ , entonces se pueden encontrar restricciones axiomáticas en $\succeq$ garantizando la concavidad de $U$ en $\mathbb R$ . El ejemplo obvio es el modelo de utilidad esperada, que supone que $U$ es lineal sobre el conjunto de loterías simples sobre $\mathbb R$ es decir, tiene la forma: $$U(p) = \sum_{supp(p)} p_i u(x_i)$$ donde $p$ es una lotería sobre $\mathbb R$ . En este caso, el axioma de la aversión al riesgo -que el equivalente de certeza de $p$ es menor que el valor esperado de $p$ ---garantizará la concavidad de $u$ .
Esto sólo es posible porque hemos adoptado una postura sobre la normalización cardinal de $U$ . En otras palabras, cualquier representación de la UE de $\succeq$ tendrá una concavidad $u$ pero todavía existen otros convexo representaciones de utilidad no esperada .
