Para cualquier pequeña perturbación dx, la utilidad no puede cambiar, o de lo contrario, x* no sería óptima

Question

Tengo problemas para entender algo que dice Varian en "Análisis Microeconómico: Tercera Edición". Para aquellos que tengan el libro a mano, la pregunta que tengo se refiere a algo que se dice en el capítulo 7 (Utilidad máxima), página 101.

El escenario. Supongamos que $\mathbf{x}$ * es el paquete de consumo óptimo. Ahora supongamos que tenemos una pequeña perturbación $\mathbf{dx}$ de $\mathbf{x}$ *, de manera que seguimos con la restricción presupuestaria (por lo que aumentamos el consumo de un bien y disminuimos el de otro). Así que tenemos $$\mathbf{p}(\mathbf{x}^{*} \pm \mathbf{dx})=m$$ donde $\mathbf{p}$ es el vector de precios y $m$ es el ingreso. Dado que $\mathbf{px}=m$ podemos deducir que $\mathbf{pdx}$ =0. Es decir $\mathbf{dx}$ es ortogonal a $\mathbf{p}$ .

Hasta ahora todo tiene sentido. Lo que no tiene sentido es la siguiente parte que dice que para cualquier perturbación de $\mathbf{x}$ *, la utilidad no puede cambiar, de lo contrario este paquete de consumo no sería óptimo.

El problema podría ser que cuando visualizo el problema, me imagino $\mathbf{dx}$ siendo algún pequeño vector a lo largo de la línea presupuestaria, comenzando en $\mathbf{x}$ * y terminando a poca distancia de $\mathbf{x}^{*}$ . Así que aunque estuviéramos en $\mathbf{x}^{*}$ ¿no sería que cualquier desviación a lo largo de la restricción presupuestaria nos situaría en una curva de indiferencia ligeramente menor?

Gracias de antemano.

Answer 1

Se trata básicamente de un replanteamiento de la condición de primer orden: en un extremo (máximo o mínimo) de una función que se comporta bien, su primera derivada es igual a cero.

Si estás en el punto de maximización, cualquier desviación no debería beneficiarte o violar alguna restricción. Por continuidad, significa que, a no ser que estés limitado, en el punto óptimo el beneficio marginal de la desviación debería ser $0$ . Como hemos elegido el subespacio donde $p\mathbf{x} = m$ desviarse dentro de ella no puede violar ninguna restricción, por lo que implica que el beneficio marginal de la desviación es $0$ .

Podemos describir el paquete óptimo como la solución del problema de optimización: \begin{align*} \mathbf{x^*} &= \arg\max_{\mathbf{x} \in \mathbb{X}} u(\mathbf{x})\\ &\text { s.t. } \mathbf{p}\mathbf{x} = m \end{align*} De ahí podemos derivar fácilmente el FOC: $$ \mathbf{D} u(\mathbf{x}^*) = \lambda \mathbf{p} $$ Suponiendo que $\mathbf{p}(\mathbf{x^*}+d\mathbf{x})=m$ , obtenemos que $\mathbf{p}d\mathbf{x} = 0$ . Por lo tanto, $$ \mathbf{D} u(\mathbf{x}^*)d\mathbf{x} = \lambda \mathbf{p}d\mathbf{x} = 0 $$