La imposibilidad de Arrow y la validez del bienestar social y el análisis de mejora de Pareto

Question

La Imposibilidad de Arrow afirma que es imposible formular un ordenamiento social (Función de Bienestar Social) sin violar algunas condiciones deseables ( una de las cuales es "No dictadura", "Eficiencia de Pareto", "Independencia de Alternativas Irrelevantes", "Dominio No Restringido" y "Ordenamiento Social"). Sin embargo, hay muchos trabajos académicos (prestigiosos) que asumen alguna Función de Bienestar Social (utilitaria), la más popular en la literatura relacionada, para sacar algunas conclusiones, Por ejemplo "Redistribución a través de los mercados" y "Política monetaria con agentes heterogéneos: Perspectivas de los modelos TANK" .

Me pregunto, teniendo en cuenta la imposibilidad de Arrow (no existe una función de bienestar social válida), cómo se puede creer de todo corazón en las afirmaciones de mejora del bienestar social y por qué famosos economistas y árbitros del Journal piensan que tales análisis son justificables.

¿Te importaría ayudarme? Tal vez no entendí las implicaciones del Teorema de Imposibilidad de Arrow.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el conjunto no vacío de alternativas, $\mathcal{P}_X$ el conjunto de relaciones de preferencia en $X$ y $N=\{1,\ldots,n\}$ un conjunto finito de agentes. Bajo la condición de dominio universal, el teorema de Arrow se refiere a las funciones del conjunto $\mathcal{P}_X^N=\underbrace{\mathcal{P}_X\times \mathcal{P}_X\cdots\times\mathcal{P}_X}_{n\text{ times}}$ a $\mathcal{P}_X$ . El utilitarismo no depende únicamente de las preferencias y, por lo tanto, no puede formularse en este escenario.

Aun así, se puede formular el teorema de Arrow en términos de funciones de utilidad. Así pues, dejemos que $\mathcal{U}_X$ sea el espacio de las funciones de valor real sobre $X$ interpretadas como "funciones de utilidad". Luego explicaré las comillas. Ahora estamos viendo funciones de $\mathcal{U}_X^N$ a $\mathcal{P}_X$ . Como las funciones de utilidad determinan las preferencias, ahora podemos hacer lo mismo que antes y más.

Ahora hay dos maneras de formular la condición de Arrow de independencia de las alternativas irrelevantes en el nuevo escenario; adaptar las otras condiciones es sencillo.

La primera forma es:

IIA1: La función $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ satisface IIA1 si para dos perfiles cualesquiera de funciones de utilidad $u=(u_1,\ldots,u_n)$ y $u'=(u_1',\ldots,u_n')$ y dos alternativas cualesquiera $x,y\in X$ , de tal manera que $u_i(x)\geq u_i(y)$ si y sólo si $u_i'(x)\geq u_i'(y)$ para todos $i\in N$ tenemos $x\phi(u) y$ si y sólo si $x\phi(u') y$ .

Nótese que IIA1 tiene implícitamente dos componentes. El primero dice que la clasificación social de dos alternativas depende sólo de los valores de utilidad de estas dos alternativas. El segundo dice que sólo importa el ranking de preferencias, pero no la "intensidad". Si sólo mantenemos el primero, obtenemos

IIA2: La función $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ satisface IIA2 si para dos perfiles cualesquiera de funciones de utilidad $u=(u_1,\ldots,u_n)$ y $u'=(u_1',\ldots,u_n')$ y dos alternativas cualesquiera $x,y\in X$ , de tal manera que $u_i(x)-u_i(y)=u_i'(x)-u_i'(y)$ para todos $i\in N$ tenemos $x\phi(u) y$ si y sólo si $x\phi(u') y$ .

IIA2 es en realidad más débil que exigir que la utilidad de ambas alternativas sea la misma en ambos perfiles; sólo es necesario que las diferencias sean iguales.

Ahora, con los otros axiomas convenientemente reformulados, IIA1 implica que todas esas funciones $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ debe ser dictatorial, mientras que IIA2 es compatible con el utilitarismo.

Ahora bien, hasta ahora esto era una cuestión puramente matemática. En concreto, hemos tratado las funciones de utilidad como algo objetivo y no como simples representaciones de las preferencias. También miden el bienestar de una manera que es comparable entre los agentes. Así que el utilitarismo utiliza información que no está incluida en los modelos puramente positivos del comportamiento económico, en los que sólo importan las preferencias. Ahora bien, se puede discutir qué sentido tiene comparar el bienestar de diferentes agentes y qué información se necesita para ciertos SWF. Ha habido un programa de investigación que comenzó a finales de la década de 1970 para discutir los supuestos informativos exactos que uno utiliza para tales comparaciones de bienestar. El libro de 1998 "Theories of distributive justice", de John E. Roemer, ofrece una buena introducción al tema. Roemer relaciona directamente todo esto con el teorema de Arrow, por lo que su libro le dará una respuesta muy extensa.

Answer 2

El SWF utilitario asume que las funciones de utilidad de los individuos son cuasilineales en el dinero. Por lo tanto, violan el axioma de dominio no restringido de Arrow, pero satisfacen los demás axiomas. Si se acepta la cuasilinealidad de la utilidad como un supuesto válido (al menos aproximadamente), entonces se puede trabajar con este SWF.

Answer 3

El teorema de imposibilidad de Arrow presupone:

1. que las preferencias individuales pueden expresarse de forma ordinaria, pero no cardinal, y

2. que "Pareto", "relevancia" (es decir, "Eficiencia de Pareto" e "Independencia de las alternativas irrelevantes") y "no dictadura" son condiciones necesarias para las elecciones democráticas.

El primer punto se deriva de las dificultades que tenían los fundadores de la teoría de la decisión para comparar las preferencias expresadas cardinalmente de diferentes personas (¿cómo comparar mis 5 puntos con tus 4 puntos?). Arrow, por tanto, rechazó la expresión cardinal de las preferencias "porque no tiene sentido". Realmente curioso, dado que von Neumann había demostrado años antes cómo se podían comparar las preferencias cardinales de diferentes individuos (en Teoría de los Juegos y del Comportamiento Económico de 1944). Además, es casi trivial encontrar opciones para las que las preferencias cardinales tienen más sentido que las ordinales. Considere las siguientes opciones:

A. Recibirás 100 dólares.

B. Recibirás 100 dólares y serás golpeado hasta la muerte.

C. Serás golpeado hasta la muerte.

¿Qué expresa mejor sus preferencias, el ordinal A > B > C o el cardinal

A = 1000000000000000000000000000000000000000 puntos,

B = 1 punto

¿C = 0 puntos?

Por lo tanto, no hay que rechazar los sistemas electorales con expresiones cardinales de preferencias. Pero si los tenemos en cuenta, el teorema de Arrow deja de ser relevante. Consideremos un sistema electoral en el que los votantes son libres de asignar un determinado número de puntos a cada opción (por ejemplo, de 0 a 9 puntos) y que finalmente clasifica las opciones según el número de puntos obtenidos. Es "Pareto", "relevante" y "no dictatorial". El teorema de Arrow no se aplica a este sistema (porque el teorema de Arrow excluye a priori este tipo de sistemas).

El segundo punto también es cuestionable. Aunque el "Pareto" y la "no-dictadura" pueden pensarse como principios democráticos incuestionables, la "relevancia" no. Consideremos el ejemplo con el que Condorcet, en la década de 1780, cuestionó los sistemas electorales de Borda. Se trata de un ejemplo con la siguiente distribución de votos:

30 A > B > C

1 A > C > B

10 C > A > B

1 C > B > A

10 B > C > A

29 B > A > C

Así, 30 votantes prefieren el orden A > B > C, 1 votante prefiere A> C> B, y así sucesivamente. El sistema electoral de Borda, que da 2 puntos para la 1ª posición, 1 punto para la 2ª posición y 0 puntos para la 3ª posición, da el orden final B > A > C. (Se puede demostrar que cualquier distribución decreciente de puntos de la primera a la tercera posición da el mismo resultado).

La objeción de Condorcet es que en un duelo directo A gana a B (porque 41 votantes ponen a A por delante de B y 40 votantes ponen a B por delante de A) y A gana a C (porque 60 votantes ponen a A por delante de C y 12 votantes ponen a C por delante de A). Por tanto, A es el ganador de Condorcet, que en los duelos directos gana todas las demás opciones, y el sistema de Borda no lo declara ganador. Condorcet concluye que el sistema de Borda no es válido.

Obsérvese que se trata precisamente de un argumento de "relevancia". El ganador de Condorcet (en su ejemplo es A) está determinado por los duelos mutuos de dos opciones, independientemente de cómo se clasifiquen las otras opciones. Esto es exactamente lo que requiere la "relevancia". En otras palabras, la objeción de Condorcet es que el sistema de Borda no respeta el requisito de "relevancia" de Arrow (casi dos siglos más joven).

La cuestión es si Condorcet tiene razón, es decir, si la "relevancia" es pertinente. Consideremos una simple elección mayoritaria entre dos opciones A y B. Supongamos que hay 2.100 votantes en juego. Si detectamos entre ellos 1000 que prefieren A > B y 1000 que prefieren B > A, podemos ignorar esos 2000 votos (porque se anulan entre sí). El resultado de la elección lo determinan los 100 restantes. Análogamente, 30 votantes en el ejemplo de Condorcet:

10 A > B > C

10 B > C > A

10 C > A > B

se anulan entre sí, así que podemos ignorarlos. Es decir, cada una de las opciones tiene el mismo número (en este caso 10) de primeros, segundos y terceros puestos. Con el mismo argumento podemos ignorar a 3 votantes con preferencias:

1 A > C > B

1 C > B > A

1 B > A > C

Pero cuando en el ejemplo de Condorcet, ignoramos a los votantes cuyos votos son anulados, la decisión la toman los votantes restantes:

20 A > B > C

28 B > A > C

Y el ganador es B.

Condorcet está equivocado, al igual que la "Independencia de las alternativas irrelevantes" de Arrow.