Arrow's Imposibilidad & Validez del Bienestar Social y Análisis de Mejora de Pareto

Question

La Imposibilidad de Arrow establece que es imposible formular un orden social (Función de Bienestar Social) sin violar algunas condiciones deseables (una de las condiciones "No dictadura", "Eficiencia de Pareto", "Independencia de Alternativas Irrelevantes", "Dominio no restringido" y "Orden Social"). Sin embargo, hay muchos (prestigiosos) documentos académicos que asumen alguna Función de Bienestar Social (utilitaria), la función de bienestar social más popular en la literatura relacionada, para llegar a algunas conclusiones. Por ejemplo "Redistribución a través de los Mercados" y "Política Monetaria con Agentes Heterogéneos: Ideas de modelos TANK".

Me pregunto, teniendo en cuenta la imposibilidad de Arrow (no hay una Función de Bienestar Social válida), ¿cómo se puede creer de todo corazón en las afirmaciones de mejora del bienestar social? ¿y por qué famosos economistas y árbitros de revistas piensan que tales análisis son justificables?

¿Te importaría ayudarme? Quizás no entendí las implicaciones del Teorema de la imposibilidad de Arrow.

Answer 1

Sea $X$ el conjunto no vacío de alternativas, $\mathcal{P}_X$ el conjunto de relaciones de preferencia en $X$ y $N=\{1,\ldots,n\}$ un conjunto finito de agentes. Bajo la condición de dominio universal, el teorema de Arrow trata de funciones del conjunto $\mathcal{P}_X^N=\underbrace{\mathcal{P}_X\times \mathcal{P}_X\cdots\times\mathcal{P}_X}_{n\text{ veces}}$ a $\mathcal{P}_X$. El utilitarismo no depende únicamente de las preferencias y por lo tanto no puede formularse en este contexto.

Sin embargo, se puede formular el teorema de Arrow en términos de funciones de utilidad. Así que sea $\mathcal{U}_X$ el espacio de funciones de valores reales en $X$, interpretadas como "funciones de utilidad." Explicaré más adelante el uso de las comillas. Ahora estamos viendo funciones de $\mathcal{U}_X^N$ a $\mathcal{P}_X$. Dado que las funciones de utilidad determinan las preferencias, ahora podemos hacer las mismas cosas que antes y más.

Ahora hay dos formas de formular la condición de Arrow de independencia de alternativas irrelevantes en el nuevo contexto; adaptar las otras condiciones es directo.

La primera forma es:

IIA1: La función $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ satisface IIA1 si para cualquier par de perfiles de funciones de utilidad $u=(u_1,\ldots,u_n)$ y $u'=(u_1',\ldots,u_n')$, y cualquier par de alternativas $x,y\in X$, tal que $u_i(x)\geq u_i(y)$ si y solo si $u_i'(x)\geq u_i'(y)$ para todo $i\in N$, tenemos $x\phi(u) y$ si y solo si $x\phi(u') y$.

Observa que IIA1 tiene implícitamente dos componentes. El primero dice que la clasificación social de dos alternativas depende solo de los valores de utilidad para esas dos alternativas. El segundo dice que solo importa la clasificación de preferencias, pero no la "intensidad". Si mantenemos solo el primero, obtenemos

IIA2: La función $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ satisface IIA2 si para cualquier par de perfiles de funciones de utilidad $u=(u_1,\ldots,u_n)$ y $u'=(u_1',\ldots,u_n')$, y cualquier par de alternativas $x,y\in X$, tal que $u_i(x)-u_i(y)=u_i'(x)-u_i'(y)$ para todo $i\in N$, tenemos $x\phi(u) y$ si y solo si $x\phi(u') y$.

IIA2 es en realidad más débil que requerir que la utilidad para ambas alternativas sea la misma en ambos perfiles; solo los diferenciales deben ser iguales.

Ahora, con los otros axiomas reformulados adecuadamente, IIA1 implica que todas las funciones $\phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X$ deben ser dictatoriales, mientras que IIA2 es compatible con el utilitarismo.

Hasta ahora, este ha sido un problema puramente matemático. En particular, tratamos las funciones de utilidad como algo objetivo y no solo como representaciones de preferencias. También miden el bienestar de una manera que es comparable entre agentes. Entonces, el utilitarismo utiliza información que no está incluida en modelos puramente positivos de comportamiento económico, en los que solo importan las preferencias. Ahora, se puede discutir qué tan sensato es comparar el bienestar de diferentes agentes y qué información se necesita para ciertas funciones de bienestar social. Ha habido un programa de investigación que comenzó a finales de los años 70 para discutir las suposiciones informativas exactas que se utilizan para tales comparaciones de bienestar. Una buena introducción al tema se encuentra en el libro de 1998 "Theories of distributive justice" de John E. Roemer. Roemer relaciona directamente todo esto con el teorema de Arrow, por lo que su libro te dará una respuesta muy extensa.

Answer 2

El SWF utilitario asume que las funciones de utilidad de los individuos son cuasilineales en dinero. Por lo tanto, violan el axioma del Dominio No Restringido de Arrow, pero cumplen con los otros axiomas. Si aceptas la cuasilinealidad de la utilidad como una suposición válida (al menos aproximadamente), entonces puedes trabajar con este SWF.

Answer 3

El teorema de la imposibilidad de Arrow presupone:

1. que las preferencias individuales pueden expresarse ordinalmente, pero no cardinalmente, y

2. que "Pareto", "relevancia" (es decir, "Eficiencia de Pareto" e "Independencia de Alternativas Irrelevantes") y "no dictadura" son condiciones necesarias para las elecciones democráticas.

El primer punto surge de las dificultades que los fundadores de la teoría de decisiones tenían al comparar las preferencias expresadas cardinalmente de diferentes personas (¿cómo comparas mis 5 puntos con tus 4 puntos?). Arrow, por lo tanto, rechazó la expresión cardinal de preferencias "porque no tiene sentido". Verdaderamente curioso, dado que von Neumann había demostrado años antes cómo las preferencias cardinales de diferentes individuos podían ser comparadas (en la Teoría de Juegos y Comportamiento Económico de 1944). Además, es casi trivial encontrar opciones para las cuales las preferencias cardinales tienen más sentido que las ordinales. Considera las siguientes opciones:

A. Recibirás 100 dólares.

B. Recibirás 100 dólares y serás golpeado hasta la muerte.

C. Serás golpeado hasta la muerte.

¿Qué expresa mejor tus preferencias, ordinal A > B > C o cardinal

A = 10000000000000000000000000000000000000000000 puntos,

B = 1 punto

C = 0 puntos?

Por lo tanto, los sistemas electorales con expresiones cardinales de preferencias no deben ser rechazados. Pero si los tomamos en cuenta, entonces el teorema de Arrow ya no es relevante. Considera un sistema electoral en el que los votantes pueden asignar un cierto número de puntos a cada opción (por ejemplo, de 0 a 9 puntos) y que finalmente clasifica las opciones según la cantidad de puntos obtenidos. Es "Pareto", "relevante" y "no dictatorial". El teorema de Arrow no se aplica a este sistema (porque el teorema de Arrow excluía a priori dichos sistemas).

El segundo punto también es cuestionable. Aunque "Pareto" y "no dictadura" pueden ser pensados como principios democráticos incuestionables, "relevancia" no lo es. Considera el ejemplo, por el cual Condorcet en la década de 1780 cuestionó los sistemas electorales de Borda. Este es un ejemplo con la siguiente distribución de votos:

30 A > B > C

1 A > C > B

10 C > A > B

1 C > B > A

10 B > C > A

29 B > A > C

Así, 30 votantes prefieren el orden A > B > C, 1 votante prefiere A > C > B, y así sucesivamente. El sistema electoral de Borda, que otorga 2 puntos por la primera posición, 1 punto por la segunda posición y 0 puntos por la tercera posición, da como resultado el orden final B > A > C. (Se puede demostrar que cualquier distribución decreciente de puntos desde la primera hasta la tercera posición da el mismo resultado).

La objeción de Condorcet es que en un duelo directo A gana a B (porque 41 votantes ponen a A por delante de B y 40 votantes ponen a B por delante de A) y A gana a C (porque 60 votantes ponen a A por delante de C y 12 votantes ponen a C por delante de A). Así que, A es el ganador de Condorcet que en duelos directos gana a todas las otras opciones, y el sistema de Borda no lo declara ganador. Condorcet concluye que el sistema de Borda es inválido.

Observa que esto es precisamente un argumento de "relevancia". El ganador de Condorcet (en su ejemplo es A) está determinado por los duelos mutuos de dos opciones, independientemente de cómo se clasifiquen las otras opciones. Esto es exactamente lo que requiere "relevancia". En otras palabras, la objeción de Condorcet es que el sistema de Borda no respeta el requisito de "relevancia" de Arrow (casi dos siglos más joven).

La pregunta es si Condorcet tiene razón, es decir, si "relevancia" es relevante. Considera una elección por mayoría simple entre dos opciones A y B. Supongamos que hay 2,100 votantes en juego. Si detectamos entre ellos 1000 que prefieren A > B y 1000 que prefieren B > A, podemos ignorar esos 2000 votos (porque se cancelan entre sí). El resultado de la elección está determinado por los 100 restantes. De manera análoga, los 30 votantes en el ejemplo de Condorcet:

10 A > B > C

10 B > C > A

10 C > A > B

se cancelan entre sí, por lo que podemos ignorarlos. Es decir, cada una de las opciones tiene el mismo número (en este caso 10) de primeros, segundos y terceros lugares. Con el mismo argumento podemos ignorar 3 votantes con preferencias:

1 A > C > B

1 C > B > A

1 B > A > C

Pero cuando en el ejemplo de Condorcet, ignoramos esos votantes cuyos votos son anulados, la decisión la toman los votantes restantes:

20 A > B > C

28 B > A > C

Y el ganador es B.

Condorcet está equivocado, al igual que la "Independencia de Alternativas Irrelevantes" de Arrow.