Existencia de solución al problema de maximización

Question

Soy un estudiante de primer año y ahora estamos aprendiendo sobre el problema de maximización de la utilidad y el problema del productor. Hemos estado asumiendo que existe una solución a estos problemas. Pero de vez en cuando hay un problema de ejercicio que nos pide que demostremos que existe una solución. Me he encontrado una vez con que "Un problema de maximización en un conjunto compacto tiene solución". Me pregunto si hay alguna buena referencia sobre esto. Estamos utilizando la Teoría Microeconómica de MGW como libro de texto; pensé que podría encontrar algo en el apéndice pero no lo conseguí.

Answer 1

Lo más probable es que el enunciado sea del tipo "Un problema de maximización de la utilidad en un conjunto compacto tiene solución cuando la función de utilidad es continua". En el caso unidimensional, se trata de un corolario directo del teorema del valor extremo. Se puede encontrar una referencia a este teorema en https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem

Sin embargo, la discontinuidad de la función de utilidad puede romper este resultado. Consideremos la siguiente función. $$ u(x) = \begin{cases} x \mbox{ if $x\in[0,\frac{1}{2})$,} \\ \frac{1}{4} \mbox{ if $x \in [\frac{1}{2},1].$ } \end{cases} $$ Debe ser inmediato reconocer que esta función no tiene alcanzar un máximo para cualquier $x\in [0,1]$ aunque tengamos un conjunto compacto.

Un libro que había utilizado antes es aquí que se ocupa de problemas de optimización del tipo que un economista encontraría de forma rigurosa. También, este libro proporciona una forma más intuitiva de establecer los resultados principales, lo que sería un mejor comienzo.

Answer 2

Esto hace uso de Weierstrass teorema:

"Cualquier función continua que mapea desde un conjunto compacto no vacío a un subconjunto de $\mathbb{R}$ alcanza un máximo y un mínimo.

Así, por ejemplo:

Sabemos por Hein-Borel que un $B(p,w)$ (el conjunto presupuestario) es compacto. Como es compacto, sabemos por el teorema de Weierstrass que existe una solución al problema de maximización de la utilidad en B(p,w).

En general, la optimización en un conjunto compacto tendrá solución si se tiene una función objetivo continua.