Me gustaría saber en qué me equivoco (si es que lo hago) y por qué me equivoco aquí, por favor:
Si un consumidor tiene una renta de 600 euros para gastar en el bien x (Px = 10 euros) y en el bien y (Py = 5 euros). ¿Cuál es el paquete óptimo considerando que U(x,y) = y + 100 ln(x)?
Así es como lo hice (pero no estoy seguro):
Datos:
$$ U(x,y)=y+100ln(x) $$ $$ M=600 , p_{x}=10 , p_{y}=5 $$
Ecuación de Lagrange aplicada:
$$ \mathcal{L}= U(x,y) - \lambda (p_{x}x+p_{y}y-M) $$ $$ \mathcal{L}= y+100ln(x) - \lambda (10x+5y-600) $$
Condición 1:
$$\partial U/\partial x-10\lambda = 0$$ $$100/x -10\lambda = 0$$
Condición 2:
$$\partial U/\partial y -5\lambda = 0$$ $$1 -5\lambda = 0$$ $$(\lambda = 1/5)$$
Usando un sistema de ecuaciones obtengo:
$$ 100/x - 10\lambda = 2-10\lambda$$ $$ x = 50$$
Ahora, conectando esto a la condición 3:
$$M-p_{x}x-p_{y}y=0$$ $$600-500-5y=0$$ $$y=20$$
Por tanto, xMax = 50 y yMax = 20
El paquete óptimo es (50,20)
Comentario:
No estoy tan seguro de esto...
Soy escéptico porque la condición 2 no parece mostrar la variable y, lo que parece indicar que y debería ser igual a 0 en ese punto (por lo que deberíamos esperar una solución de esquina).
Pero entonces, como encontré x después de igualar las dos primeras condiciones y lo enchufé en la tercera condición, me dio y=20 después de todo. Así que estoy un poco confundido.
Si ambos lambda en cond1 y cond2 son efectivamente iguales a 1/5, mi respuesta (y=20) debería estar bien, pero si no es el caso, bien podría ser que y=0. No sé cómo comprobar mi respuesta para estar seguro de que estoy en lo cierto... o equivocado.
Y, si por casualidad, he acertado, ¿podemos descartar de todos modos las soluciones en las esquinas y los límites?
Gracias por su ayuda.
