¿Qué tipo de función de producción daría una función de costes de forma cúbica?

Question

Quisiera una función de producción que diera una función de costes con la siguiente forma:

La cifra está tomada de "Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12ª edición", en el capítulo 10, sección 10.4.3

La función de costes $c$ debe cumplir los siguientes requisitos:

1. $c(q)$ está definida y es continua para todo $q \geq 0$
2. $c(q)$ es dos veces continuamente diferenciable para todo $q > 0$
3. $c(q) \to \infty$ como $q \to \infty$
4. Para todos $q > 0$ tenemos $c'(q) > 0$
5. Existe $q_1 > 0$ tal que $c''(q) < 0$ para todos $0 < q < q_1$ y $c''(q) > 0$ para todos $q > q_1$

No necesito $c$ para ser literalmente un polinomio cúbico (es decir $ c(q) = a_0 + a_1 q + a_2 q^2 + a_3 q^3 $ ). Sólo necesito que se parezca a la forma de la figura y que cumpla los requisitos anteriores.

Answer 1

Como su función de coste presenta derivadas de primer y segundo orden no constantes, un polinomio de tercer grado es un buen punto de partida.

Hay infinitas funciones de producción detrás de una función de costes cúbica. A continuación se presenta un solo ejemplo, utilizando un truco de Gorman, que consiste en interpretar una función de costes cuya expresión es la suma de tres (o cuatro) partes, como si se obtuviera de una sola empresa que utiliza tres máquinas (o tres plantas).
Número de máquina (o planta) $j=1,...,3$ , produce una cuota constante $s_j$ de la producción total $y$ según su propia función de producción $h_j$ tal que $$s_j y = h_j(x_j-k_j),$$ donde cada $h_j$ es homogénea de grado $1/\alpha_j$ en $(x_j-k_j)$ y $k_j \geq 0$ denota la necesidad mínima de insumos para la producción: $h_j(x_j-k_j)=0$ para $x_j \leq k_j$ . La salida se denota por $y$ y el vector de precios de los insumos por $w$ (se puede considerar aquí como constante). Entonces el vector óptimo de demanda de insumos toma la forma (se deja como ejercicio): $$x_j^*(w,y)=k_j + b_j(w)y^{\alpha_j}$$ y la función de costes correspondiente es $$c(w,y) = \sum_{j=1}^3 w^T x_j^*(w,y) = a_0(w) + a_1(w)y^{\alpha_1} + a_2(w)y^{\alpha_2} + a_3(w)y^{\alpha_3}$$ que es la expresión de la función de coste cúbica para $\alpha_1=1,\alpha_2=2,$ y $\alpha_3=3$ .
Otras restricciones a la $a_j$ de la función de la empresa, se obtienen las cifras anteriores.

Answer 2

Como señalé en un comentario, un enfoque es tener en cuenta los costes fijos (a diferencia del gráfico). Por ejemplo, supongamos que la producción requiere dos factores $L$ y $K$ y que la función es simétrica Cobb-Douglas: $$ q = L^\alpha K^\alpha \text{ where } \alpha \in (0, 1) $$ Resolviendo el problema de minimización de costes de la empresa, entonces produce la función de coste $$ C(q) = 2\sqrt{wr} q^{\frac{1}{2\alpha}} \equiv c q^{\frac{1}{2\alpha}} $$ donde $w$ y $r$ son los precios de $L$ y $K$ y $c>0$ es una constante que acabamos de definir. Si suponemos que también hay que pagar un coste fijo $F > 0$ para producir algo en absoluto, entonces $$ C(q)= \begin{cases} c q^{\frac{1}{2\alpha}} + F \text{ if } q > 0\\ 0 \hspace{3em}\text{ if $q = 0$ } \end{cases} $$ Si eliges $\alpha < 0.5$ (rendimientos decrecientes a escala), entonces se obtiene una función de costes convexa con una discontinuidad en cero. Por ejemplo, si $\alpha = 0.25$ entonces los costos comienzan en $F$ caen discontinuamente y luego aumentan cuadráticamente en $q$ . En consecuencia, los costes marginales son "infinitos" para la primera unidad, luego descienden de forma discontinua y después aumentan como se desea. Por último, los costes medios disminuyen y luego aumentan. Me doy cuenta de que esto no es exactamente lo que se busca, pero parece que se acerca.