Definiendo el conjunto de estrategias, estrategias mixtas y el conjunto simplex

Question

Supongamos que tenemos un juego de dos jugadores, donde $(S^i)_{i=1}^2$ denota el conjunto de estrategias puras para cada uno. El conjunto de estrategias mixtas del jugador $i$ se denota por $\Sigma^i=\Delta(S^i)$ mientras que $\Sigma=\Sigma_1\times\Sigma_2=\Delta(S_1)\times \Delta(S_2)$. Mis preguntas son las siguientes:

1. Supongamos que $S_1=\{x,y\}$ y $S_2=\{u,v\}$, entonces el conjunto $\Sigma^1=\Delta(S^1)=\{\{x\},\{y\},(p(x),(1-p)(y))\}$ y $\Sigma^2=\Delta(S^2)=\{\{u\},\{v\},(q(u),(1-q)(v))\}$, donde $p$ y $q$ denotan las distribuciones de probabilidad sobre el conjunto de estrategias puras. Si no me equivoco hasta aquí, entonces ¿cómo se ve el conjunto $\Sigma$?
2. Con la notación de $\Delta$ frente a un conjunto ¿denotamos el simplex del conjunto? Si no, ¿cómo se puede encontrar y cómo está relacionado con los conjuntos de estrategias puras y mixtas?
3. ¿Se cumple lo siguiente $\Delta(\underbrace{S_1\times S_2}_{\Delta(\Pi_{i=1}^2 S^i)})\underbrace{=}_{=}\underbrace{\Delta(S_1)\times\Delta(S_2)}_{\Pi_{i=1}^2 \Delta(S^i)}$ y ¿puede este resultado generalizarse para juegos de $k(<+\infty)$ jugadores?

¡Gracias de antemano! Aunque los cálculos o mis respuestas puedan parecer simples, estoy un poco confundido con toda esta notación.

Answer 1

1. Entonces, ¿cómo se ve el conjunto $\Sigma$?

$\Sigma^1$ es el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre $\{x, y\}$, por lo tanto, se expresa por el simplejo unitario unidimensional: $$ \Sigma^1 = \{(p_1, p_2) \in \mathbb{R}^2_+| p_1 + p_2 = 1\}. $$ Aquí, $p_1$ es la probabilidad de jugar $x$ y $p_2$ es la probabilidad de jugar $y$. Si se ve a $\Sigma^1$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^2$, es el conjunto de todos los vectores en el ortante positivo cuyos componentes suman a 1, como se muestra en la imagen abajo:

Se llama el simplejo unidimensional debido a que la línea es de dimensión 1.

Si hubiera tres estrategias, entonces obtendríamos un simplejo unitario bidimensional: $$ \Sigma^1 = \{(p_1, p_2, p_3) \in \mathbb{R}^3_+|p_1 + p_2 + p_3 = 1\}. $$ En $\mathbb{R}^3$ esto se vería como la superficie de un triángulo extendido por los vectores $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$. Obtenemos un simplejo bidimensional ya que la superficie es un objeto de 2 dimensiones.

2. ¿Con la notación de $\Delta$ frente a un conjunto denotamos el simplejo del conjunto? Si no, ¿cómo se puede encontrar y cómo está relacionado con los conjuntos de estrategias puras y mixtas?

Sí, generalmente se utiliza $\Delta(S)$ para denotar el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre el conjunto $S$. Si $S$ es finito, entonces $\Delta S$ es simplemente un simplejo unitario de una dimensión menor que el número de elementos en $S$. En particular, si $|S| = n$ entonces $$ \Delta(S) = \left\{(p_1, \ldots, p_n) \in \mathbb{R}^n_+\middle| \sum_{i = 1}^n p_i = 1\right\}. $$ Si $S$ es el conjunto de estrategias puras de un jugador, entonces $\Delta(S)$ es el conjunto de estrategias mixtas del mismo jugador.

3. ¿Se cumple lo siguiente $\Delta(S1 \times S2) = \Delta(S_1)\times \Delta(S_1)$ y ¿puede este resultado generalizarse para juegos de $k(< +\infty)$ jugadores?

No, los dos conjuntos no son iguales. Por ejemplo, si $S_1 = \{x, y\}$ y $S_2 = \{u, v\}$, entonces los elementos de $S_1 \times S_2$ son: $$ S_1 \times S_2 = \{(x,u), (x, v), (y,u), (y,v)\}. $$ Por lo tanto, $\Delta(S_1 \times S_2)$ es el simplejo unitario tridimensional con elementos $(p_{(x,u)}, p_{(x,v)}, p_{(y,u)}, p_{(y,v)})$

Por otro lado, $\Delta(S_1) \times \Delta(S_2)$ consta de todas las combinaciones $((p_x, p_y), (p_u, p_v))$ donde $(p_x, p_y) \,\Delta(S_1)$ y $(p_u, p_v) \,\delta(S_2)$. Aunque también podrían verse como vectores de 4 dimensiones, no están en el simplejo unitario tridimensional ya que $p_x + p_y = 1$ y $p_v + p_w = 1$, por lo tanto, su suma es igual a 2 (y no a 1).

En cierto sentido, el conjunto $\Delta(S_1 \times S_2)$ contiene más 'distribuciones' que el conjunto $\Delta(S_1) \times \Delta(S_2)$. Esto significa que existen vectores $(p_{(x,u)}, p_{(x,v)}, p_{(y,u)}, p_{(y,v)}) \,\Delta(S_1 \times S_2)$ para los cuales es imposible encontrar $(p_x, p_y) \,\Delta(S_1)$ y $(p_u, p_v) \,\Delta(S_2)$ tal que: $$ p_x \cdot p_u = p_{(x,u)},\\ p_x \cdot p_v = p_{(x,v)},\\ p_y \cdot p_u = p_{(y,u)},\\ p_y \cdot p_v = p_{(y,v)}. $$

Por ejemplo, $p_{(x,u)} = 0.5, p_{(x,v)} = 0, p_{(y,u)} = 0, p_{(y,v)} = 0.5$ es imposible de descomponer de esta manera. De otra forma, el conjunto de todas las distribuciones que pueden obtenerse mediante un perfil de estrategias mixtas es un subconjunto estricto del conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre los perfiles de estrategias puras.