Medida neutral de riesgo del modelo de tipos cortos

Question

Como todos sabemos, todos los modelos de estructura de términos afines son miembros del modelo HJM. Bajo el modelo HJM, existe una única medida neutral al riesgo tanto en el proceso de tipos a plazo como en el proceso de evolución de los bonos. Por lo tanto, el modelo es completo. Sin embargo, no hay una medida única de riesgo neutral en los modelos de tipos cortos como Vasicek, el modelo CIR (la medida se ajusta por el parámetro lambda). Por lo tanto, el modelo es incompleto.

La pregunta es: ¿Cómo justificar la existencia y la ausencia de una medida única de neutralidad al riesgo en los modelos de tipos a plazo (HJM) y de tipos a corto plazo (Vasicek) respectivamente? ¿Existen contradicciones?

Answer 1

El modelo Vasicek y otros modelos de tipos a corto plazo sólo son "incompletos" hasta que se calibran con los datos del mercado. Si los tipos siguieran realmente los procesos de Vasicek, sería trivial estimar los parámetros del "mundo real" a partir de los datos históricos y calcular los parámetros "neutrales al riesgo" a partir de la curva de rendimiento. En tal caso, los modelos HJM y Vasicek son simplemente dos formas de ver la misma cosa: no hay contradicción. El HJM es una "familia" de modelos en la que Vasicek encaja perfectamente.

Por supuesto, es bastante fácil ver que el modelo Vasicek no se ajusta, de hecho, a la curva de rendimiento empírica. En este caso, el modelo HJM estará en desacuerdo con el modelo Vasicek, ya que el HJM se ajusta perfectamente a la estructura temporal inicial.

Answer 2

Para cualquier proceso dado para la tasa corta $\{r_t,, t >0\}$ el precio en el momento $t$ de un bono de cupón cero con vencimiento $T$ , donde $t\le T$ viene dada por $$\begin{align*} P(t, T) = E\left(e^{-\int_t^T r_s ds}\,\big|\, \mathcal{F}_t\right). \end{align*}$$ Ya que, para $t\le T$ , $$\begin{align*} \frac{P(t, T)}{e^{\int_0^tr_s ds}} = E\left(e^{-\int_0^T r_s ds}\,\big|\, \mathcal{F}_t\right) \end{align*}$$ es una martingala bajo la medida de riesgo neutral, podemos suponer que la dinámica para $r_t$ ya está definida en la medida neutral de riesgo.

Para el tipo de interés a plazo $f(t, T)$ observamos que $r_t = f(t, t)$ y $$\begin{align*} P(t, T) = e^{-\int_t^T f(t, u)du}. \tag{1} \end{align*}$$ Suponemos que $f(t, T)$ sigue, bajo la medida neutral de riesgo, el modelo HJM, es decir $$\begin{align*} df(t, T) = \alpha(t, T) dt + \sigma(t, T) dW_t, \end{align*}$$ donde $\{W_t, \, t \ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar. En $(1)$ , $$\begin{align*} d\ln P(t, T) &= f(t, t) dt -\int_t^T df(t, u) du\\ &=r_t dt - \left(\int_t^T \alpha(t, u) du\right)dt - \left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)dW_t. \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} &= \frac{1}{P(t, T)}d\left(e^{\ln P(t, T)} \right)\\ &=\frac{1}{P(t, T)}\left(e^{\ln P(t, T)} d\ln P(t, T) + \frac{1}{2}e^{\ln P(t, T)} d\langle \ln P, \ln P\rangle_t\right)\\ &=\left(r_t - \int_t^T \alpha(t, u) du +\frac{1}{2}\left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)^2 \right)dt - \left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)dW_t. \end{align*}$$ Obsérvese que, bajo la medida de riesgo neutro, el término de deriva de $dP(t, T)$ es $r_t$ . Es decir, $$\begin{align*} \int_t^T \alpha(t, u) du = \frac{1}{2}\left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)^2. \end{align*}$$ En consecuencia, $$\begin{align*} \alpha(t, T) = \sigma(t, T)\int_t^T \sigma(t, u) du. \end{align*}$$