Supongamos que tenemos dos estados del mundo igualmente probables, y digamos $\psi$ es la prioridad común del estado $\theta\in\Theta=\{G,B\}$ . Los tipos de jugadores vienen dados por las siguientes matrices en cada estado del mundo
$$\begin{pmatrix}{G} & t_1 & t_2 \\ t_1 & 1/4 & 1/4 \\ t_2 & 1/4 & 1/4 \end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}{B} & t_1 & t_2 \\ t_1 & 1/3 & 1/6 \\ t_2 & 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$$
y las matrices de pago son
$$\begin{pmatrix}{G} & a_2 & p_2 \\ a_1 & 8,8 & 3,10 \\ p_1 & 10,3 & 0,0 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}{B} & a_2 & p_2 \\ a_1 & 6,6 & 2,7 \\ p_1 & 7,2 & 0,0 \end{pmatrix}$$
Como en Bergemann y Morris en el trabajo [de 2016][1] la función de valor del palier i={1,2} viene dada por
$$V(a,t,\theta)=\sum_{a_{-i},t_{-i},\theta}\psi(\theta)\pi((t_i,t_{-i})|\theta)\sigma((a_i,a_{-i})|(t_i,t_{-i}),\theta)u_i((a_i,a_{-i}),\theta)$$
donde $\pi:\Theta\to\Delta(T)$ es la distribución de probabilidad de los tipos con respecto a los estados del mundo.
Si resolvemos el N.E de cada juego sin tener en cuenta los tipos de jugadores y las distribuciones a-priori, sabemos que el primer juego matricial da dos Equilibrios de Nash puros que son $(a_1,p_2)$ y $(a_2,p_1)$ y lo mismo ocurre con el segundo juego, mientras que cada juego tiene un equilibrio de Nash mixto que es $\sigma_1^G(a_1,p_1),\sigma_2^G(a_2,p_2)=((3/5,2/5),(3/5,2/5))$ en el buen estado y $\sigma_1^B(a_1,p_1),\sigma_2^B(a_2,p_2)=((2/3,1/3),(2/3,1/3))$ en el estado malo, respectivamente.
Teniendo en cuenta los tipos de los jugadores, donde por ejemplo, si el jugador $1$ es del tipo $t_1$ y el jugador $2$ es del tipo $t_1$ en el buen estado, entonces cada uno de ellos juega $a_1$ y $a_2$ como sus acciones en el juego. Si el jugador $1$ es del tipo $t_1$ y el jugador $2$ es del tipo $t_2$ en el buen estado, entonces cada uno de ellos juega $a_1$ y $p_2$ como sus acciones en el juego, etc. En este caso las estrategias mixtas son un poco diferentes y la nueva solución viene dada por $(\sigma_1^{G,T}(a_1,p_1),\sigma_2^{G,T}(a_2,p_2))=((3/5,2/5),(3/5,2/5))$ en el buen estado y $(\sigma_1^{B,T}(a_1,p_1),\sigma_2^{B,T}(a_2,p_2))=((2/3,1/3),(1/2,1/2))$ en el estado malo, respectivamente. Debido a la actualización de las creencias con respecto a $\pi$ tenemos una estrategia diferente en el caso de $\sigma_2^{B,T}(a_2,p_2)$ con respecto al caso en el que no se tuvieron en cuenta los tipos. Si hacemos algún cambio en las distribuciones a-priori sobre los tipos, entonces los equilibrios de estrategia mixta cambian mucho y he hecho algunos cálculos por mi cuenta.
Mi problema es el siguiente:
Cuando intento calcular el pago esperado de los jugadores en la estrategia pura N.E. hago el siguiente cálculo. Muestro los resultados sólo para el jugador $1$ y no para el jugador $2$ Es decir
$$V((a_1,p_2),(t_1,t_2),\theta)=\underbrace{\psi(G)}_{1/2}\times\left(\underbrace{\pi((t_1,t_2)|G)}_{1/2}\underbrace{\sigma((a_1,p_2)|(t_1,t_2),G)}_{=1\quad\text{pure strategies}}\underbrace{u_1((a_1,p_2),G)}_{3}\right)+\underbrace{\psi(B)}_{1/2}\times\left(\underbrace{\pi((t_1,t_2)|B)}_{1/3}\underbrace{\sigma((a_1,p_2)|(t_1,t_2),B)}_{=1\quad\text{pure strategies}}\underbrace{u_1((a_1,p_2),B)}_{2}\right)=13/12$$
y en las estrategias mixtas estoy un poco confundido acerca de cómo calcular la recompensa esperada
$$V((\sigma_1^{(\theta,t,*)},\sigma_2^{(\theta,t,*)}),t,\theta)=\underbrace{\psi(G)}_{1/2}\times\left(\pi((t_1,t_1)|G)\sigma((a_1,a_2)|(t_1,t_1),G)u_1((a_1,a_2),G)+\pi((t_1,t_2)|G)\sigma((a_1,p_2)|(t_1,t_2),G)u_1((a_1,p_2),G)+\pi((t_2,t_1)|G)\sigma((p_1,a_2)|(t_2,t_1),G)u_1((p_1,a_2),G)+\pi((t_2,t_2)|G)\sigma((p_1,p_2)|(t_2,t_2),G)u_1((p_1,p_2),G)\right)+\underbrace{\psi(B)}_{1/2}\times\left(\pi((t_1,t_1)|B)\sigma((a_1,a_2)|(t_1,t_1),B)u_1((a_1,a_2),B)+\pi((t_1,t_2)|B)\sigma((a_1,p_2)|(t_1,t_2),B)u_1((a_1,p_2),B)+\pi((t_2,t_1)|B)\sigma((p_1,a_2)|(t_2,t_1),B)u_1((p_1,a_2),B)+\pi((t_2,t_2)|B)\sigma((p_1,p_2)|(t_2,t_2),B)u_1((p_1,p_2),B)\right)=$$
¿Puede alguien ayudarme? ¿Estoy en la dirección correcta? [1]: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.3982/TE1808
